Chủ đề này có 2 trả lời

[tranvandung19972012]

Bài 1: Cho pt: $2x^{2} - 2(2m +1) + 4m^{2} + 4m - 3 = 0$
Xác định m để pt có 2 nghiệm $x_{1} < x_{2}$ và $\left | x_{1} \right | = 2\left | x_{2} \right |$

Bài 2: Cho pt $2x^{2} + mx + 2n +8 =0$ Có các nghiệm đều là số nguyên
Chứng minh: $m^{2}+n^{2}$ là hợp số

Bài 3: Cho a,b $\epsilon Z$ tm 5a + b = 22 và pt: $x^{2} + ax + b =0$ có nghiệm là hai số dương, tìm hai nghiệm đó
_________
Bạn nên đặt lại tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranvandung19972012: 18-05-2012 - 21:41

[L Lawliet]

Bài 1: Cho pt: $2x^{2} - 2(2m +1) + 4m^{2} + 4m - 3 = 0$
Xác định m để pt có 2 nghiệm $x_{1} < x_{2}$ và $\left | x_{1} \right | = 2\left | x_{2} \right |$

Bài 2: Cho pt $2x^{2} + mx + 2n +8 =0$ Có các nghiệm đều là số nguyên
Chứng minh: $m^{2}+n^{2}$ là hợp số

Bài 3: Cho a,b $\epsilon Z$ tm 5a + b = 22 và pt: $x^{2} + ax + b =0$ có nghiệm là hai số dương, tìm hai nghiệm đó

Bài 2:
Vì đề bài đã cho phương trình có nghiệm đều là các số nguyên nên theo hệ thức Viete ta có:
$$x_{1}+x_{2}=-\frac{m}{2}\Rightarrow m=-2(x_{1}+x_{2})\Rightarrow m^2=4(x_{1}+x_{2})^2$$
$$x_{1}x_{2}=\frac{2n+8}{2}=n+4\Rightarrow n=x_{1}x_{2}-4\Rightarrow n^2=(x_{1}x_{2}-4)^2$$
Biến đổi:
$$m^2+n^2=4(x_{1}+x_{2})^2+(x_{1}x_{2}-4)^2=4x_{1}^2+x_{1}^2x_{2}^2+4x_{2}^2+16=(x_{1}^2+4)(x_{2}^2+4)$$
Vì phương trình có nghiệm nguyên nên ta có đpcm.
Bài 3:
Vì đề bài cho nghiệm của phương trình là hai số dương nên theo hệ thức Viete ta có:
$$x_{1}+x_{2}=-a$$
$$x_{1}x_{2}=b$$
Ta có:
$$5a+b=22\Leftrightarrow -5(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=22$$
Phương trình nghiệm nguyên đấy đơn giản rồi, nhường bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 18-05-2012 - 21:55

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1: Cho phương trình: $2x^{2} - 2(2m +1) + 4m^{2} + 4m - 3 = 0$
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm $x_{1} < x_{2}$ và $\left | x_{1} \right | = 2\left | x_{2} \right |$

Giải

Phương trình ban đầu có biệt thức:
$\Delta' = (2m + 1)^2 - 2(4m^2 + 4m - 3) = - 4m^2 - 4m + 7$
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ($x_1 < x_2$) khi:
$\Delta' > 0 \Leftrightarrow -4m^2 - 4m + 7 > 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-2\sqrt{2} - 1}{2} < m < \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}$

Yêu cầu đề bài tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x_1 = 2x_2\\x_1 = -2x_2\end{array}\right.\\x_1 < x_2\end{array}\right.$

TH1:
$\left\{\begin{array}{l}x_1 < x_2\\x_1 = 2x_2\end{array}\right. \Rightarrow 2x_2 < x_2 \Rightarrow x_1 < x_2 < 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x_1 = 2x_2\\S = x_1 + x_2 = 2m + 1 < 0\\P = x_1x_2 = 2m^2 + 2m - \dfrac{3}{2} > 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m < \dfrac{-1}{2}\\\left[\begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m < \dfrac{-3}{2}\end{array}\right.\\x_2 = \dfrac{2m + 1}{3}\\x_2^2 = m^2 + m - \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$


$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} m < \dfrac{-3}{2}\\(\dfrac{2m + 1}{3})^2 = m^2 + m - \dfrac{3}{4}\end{array}\right. $

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m < \dfrac{-3}{2}\\5m^2 + 5m - \dfrac{31}{4} = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{-5 - \sqrt{180}}{10}$
Kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm, ta chọn giá trị m này.

TH2:
$\left\{\begin{array}{l}x_1 < x_2\\x_1 = - 2x_2\end{array}\right. \Rightarrow - 2x_2 < x_2 \Rightarrow x_1 < 0 < x_2$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x_1 = - 2x_2\\S = x_1 + x_2 = 2m + 1 \\P = x_1x_2 = 2m^2 + 2m - \dfrac{3}{2} < 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{1}{2}\\- x_2 = 2m + 1 < 0\\ x_2^2 = - m^2 - m + \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{-1}{2}\\x_2^2 = 4m^2 + 4m + 1\\x_2^2 = -m^2 -m + \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{-1}{2}\\ 4m^2 + 4m + 1 = - m^2 - m + \dfrac{3}{4}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-3}{2} < m < \dfrac{-1}{2}\\5m^2 + 5m + \dfrac{1}{4} = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{-5 - \sqrt{20}}{10}$
Kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm, ta chọn giá trị này.

Kết luận: Có 2 giá trị m thỏa mãn đề bài.
P/S: Bài hơi dài nên có thể có sai sót trong tính toán. Mong bạn bỏ qua