Chủ đề này có 1 trả lời

[terenceTAO]

Cho các số thự dương a,b,c biêt $a\leq b\leq c$ và $a+b+c= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Chứng minh
$b\geq \frac{1}{a+c-1}$
(MIC Staff 2009)

[terenceTAO]

Do $a\leq b\leq c$ suy ra $(b-c)(b-a)\leq 0$ hay $ac\leq b(a+c-b)$
dẫn tới $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+c}{ac}+\frac{1}{b}\geq \frac{a+c}{b(a+c-b)}+\frac{1}{b}$
$\Rightarrow b(a+c)^2-2(a+c)+b(1-b^2)\geq 0$
$\Rightarrow a+c\leq \frac{1-\sqrt{b^4-b^2+1}}{b}$ hoặc $a+c\geq \frac{1+\sqrt{b^4-b^2+1}}{b}$
Mặt khác $a+c\geq b> \frac{1-\sqrt{b^4-b^2+1}}{b}$
nên $a+c\geq \frac{1+\sqrt{b^4-b^2+1}}{b}\geq \frac{1}{b}+1$
hay
$b\geq \frac{1}{a+c-1}$