Chủ đề này có 1 trả lời

[mysmallstar12]

y=$\frac{2x-3}{x-2}$(C).Cho M thuộc (C),tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B.Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận.Tìm M để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bé nhất.

[LakcOngtU]

y=$\frac{2x-3}{x-2}$©.Cho M thuộc ©,tiếp tuyến của © tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B.Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận.Tìm M để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích bé nhất.

gọi $M(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-2}) \in© $
phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị © tại M có phương trình
y=$\frac{-1}{(x_0-2)^2}(x-x_0)+ \frac{2x_0-3}{x_0-2}$
tọa độ giao điểm A,B của $\Delta$ với hai tiệm cận là $A(2;\frac{2x_0 -2}{x_0 -2})$ và $B(2x_0 -2;2)$
Ta thấy :$\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2+2x_0 -2}{2}=x_0 =x_M$,$\frac{y_A +y_B}{2}=\frac{2x_0 -3}{x_0 -2}=y_M$
Suy ra,M là trung điểm của AB
mặt khác,$\triangle IAB $ vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp $\triangle IAB$ có diện tích là:
S=$\pi.IM^2=\pi[(x_0 -2)^2+(\frac{2x_0 -3}{x_0 -2} -2)^2]=\pi[(x_0 -2)^2+\frac{1}{(x_0 -2)^2}]\ge 2\pi$
Dấu "=" xẩy ra $\Leftrightarrow (x_0 -2)^2=\frac{1}{(x_0 -2)^2}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x_0=1\\x_0=3 \end{matrix}\right.\\ \\$
Do đó,có hai điểm M cần tìm là:$M_1(1;1) và M_2(3;3)$