Chủ đề này có 12 trả lời

[Math Is Love]

Tính tổng quát giá trị biểu thức:
A=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$

[Crystal]

Tính tổng quát giá trị biểu thức:
A=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$

Bài này không biết đã có ai tìm được công thức tổng quát chưa nhưng nó có giới hạn là $ + \infty $

----

[nthoangcute]

Bài này không biết đã có ai tìm được công thức tổng quát chưa nhưng nó có giới hạn là $ + \infty $

----

Anh ơi, hình như họ quy ước tổng này rồi thì phải:
$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\Psi \left( n+1 \right) +\gamma$

[Crystal]

Anh ơi, hình như họ quy ước tổng này rồi thì phải:
$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\Psi \left( n+1 \right) +\gamma$

Nhưng mấy cái hàm đó THCS đâu được học. Anh cũng chẳng biết là gì nữa .

Một công thức tổng quát sơ cấp vẫn chưa có?

---

[perfectstrong]

Anh nhớ đọc trong sách nào đó, có viết rằng $\Sigma{\dfrac{1}{n^k}}$ không thể biểu diễn dưới dạng 1 đa thức hay phân thức

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-05-2012 - 09:20

[Math Is Love]

Thế thí với dạng bài chứng minh $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{}+...+\frac{1}{n}< k$ thì có cách làm tổng quát không mọi người?

[Crystal]

Thế thí với dạng bài chứng minh $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{}+...+\frac{1}{n}< k$ thì có cách làm tổng quát không mọi người?

Ở đây phải nói cụ thể giá trị của $n$ và $k$ chứ nhỉ. Tại cái tổng $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{i}} $ tiến tới $ + \infty $ khi $n$ đủ lớn.

----

[Math Is Love]

Cho em hỏi cái dấu $+\infty$ là vô hạn phải không

[hxthanh]

Đúng rồi em ạ
$\mathcal{H}^{k}_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^k}$ là một hàm Hyperbol điều hòa (không sơ cấp chút nào!)

Vì vậy không cần phải cố gắng tìm công thức sơ cấp đâu các em ạ!

[nthoangcute]

Các anh ơi, liệu có công thức tổng quát cho $A=1^k+2^k+3^k+...+n^k$ với $k$ là số nguyên dương biết trước

[nthoangcute]

Em thấy:

$$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

$$1^4+2^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$

$$1^5+2^5+...+n^5=\frac{n^2(2n^2+2n-1)(n+1)^2}{12}$$

$$1^6+2^6+...+n^6=\frac{n(2n+1)(n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$$

...
Liệu có quy luật gì đó

[hxthanh]

Quy luật thì ... cũng có nhưng chẳng ích gì
$\sum_{i=1}^n i^k=P_{k+1}(n)$
- $P_{k+1}(n)$ là một đa thức bậc $k+1$
- Luôn có 2 nghiệm là $x_1=0$ và $x_2=-1$
- Nếu $k$ chẵn thì có thêm nghiệm $x_3=-\dfrac{1}{2}$

[Crystal]

Các anh ơi, liệu có công thức tổng quát cho $A=1^k+2^k+3^k+...+n^k$ với $k$ là số nguyên dương biết trước

Có thể tính được nhưng ta cần phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm cấp cao đối với hàm số \[f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + {x^3} + ... + {x^n}} \right) = {x^{n + 1}} - {x^2}\] kết hợp với công thức truy hồi.

Nếu đặt ${S_k}\left( n \right) = {1^k} + {2^k} + ... + {n^k}$. Sau khi lấy đạo hàm cấp $2$ hàm số $f(x)$ và chọn $x=1$ ta có ngay
\[\boxed{\mathbf{{S_1}\left( n \right) = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}\]
Đây là một đẳng thức cơ bản.

Tương tự, tiếp tục lấy đạo hàm cấp cao hơn (cấp $3$, cấp $4$,...) kết hợp với công thức truy hồi, ta sẽ tính được ${S_2}\left( n \right),\,\,{S_3}\left( n \right),..$

Với những $k$ đủ nhỏ thì đơn giản và có nhiều cách tính, trong đó sử dụng phương pháp sai phân cũng là một điều đáng chú ý.