Đề thi giữa kì Độ đo - Tích phân (K59CLC-ĐHSPHN)
Thời gian: 90 phút
Câu 1. Cho $A$ là tập đo được Lebesgue thuộc đoạn $[0,1]$ thỏa mãn $\mu(A\cap(a,b))\le\dfrac{b-a}2$ với mọi tập mở $(a,b)$. Chứng minh rằng $\mu(A)=0$.
Câu 2. Cho $\{A_n\}$ là một dãy tập đo được Lebesgue thuộc đoạn $[0,1]$, thỏa mãn $\lim \mu(A_n)=1$. Chứng minh rằng, với mọi $\epsilon>0$, tồn tại dãy con $\{A_{k_n}\}\subset \{A_n\}$ sao cho
$$\mu\left ( \bigcap_{n=1}^{+\infty} A_{k_n} \right )>1-\epsilon$$
Câu 3. Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $[0,1]$. Với $\epsilon>0$, chỉ ra một tập mở $U_{\epsilon}$ trù mật trong $[0,1]$ sao cho $\mu(U_{\epsilon})<\epsilon$.
Câu 4. Cho tập $A$ đo được với độ đo hữu hạn, nhận giá trị trong $\mathbb R$, hội tụ hầu khắp nơi trên $A$ tới $f$. Với $\epsilon>0$, chứng minh rằng
$$\lim \left ( \bigcup_{k=n}^{+\infty}\{x\in A: |f_k(x)-f(x)|\ge \epsilon \} \right )=0$$
Câu 5. Cho $f:A\to [0,1]$ là hàm đo được. Chứng minh rằng: hoặc tồn tại tập $E \subset A$ đo được sao cho $f=\chi_E$ hầu khắp nơi, hoặc tồn tại $c\in\left (0, \frac1{2}\right )$ sao cho $\mu\left (\{x\in A:c<f(x)<1-c\} \right )>0$.
Theo dduclam
