Chủ đề này có 2 trả lời

[tolaphuy10a1lhp]

1) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, $ SA \perp (ABC)$, SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và CA.
a) Tính khoảng cách giữa SB và AC.
b) Mặt phẳng $\alpha$ chứa MN và song song BC. Tính khoảng cách giữa MN và BC.


Mình chứng minh được $BN \perp (SAC)$.
Trong $ \triangle SNB$ vuông tại N. kẻ $ NH \perp SB$ thì rõ ràng là NH là đoạn vuông góc chung cùa SB và AC. Nhưng mình không chứng minh được $NH \perp AC$. Sử dụng đinh lí 3 đường vuông góc thì không được. Không hiểu cách mình sai ở đâu? làm sao chứng minh được?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 26-05-2012 - 22:34

[hoangtrong2305]

1) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, $ SA \perp (ABC)$, SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và CA.
a) Tính khoảng cách giữa SB và AC.
b) Mặt phẳng $\alpha$ chứa MN và song song BC. Tính khoảng cách giữa MN và BC.


Mình chứng minh được $BN \perp (SAC)$.
Trong $ \triangle SNB$ vuông tại N. kẻ $ NH \perp SB$ thì rõ ràng là NH là đoạn vuông góc chung cùa SB và AC. Nhưng mình không chứng minh được $NH \perp AC$. Sử dụng đinh lí 3 đường vuông góc thì không được. Không hiểu cách mình sai ở đâu? làm sao chứng minh được?

Mình nghĩ bạn sai lầm ở chỗ khi khẳng định $NH$ là đường vuông góc chung, bởi vì nếu thế thì $NH\perp AC$, mà $NB\perp AC$

$\Rightarrow AC\perp (SBN)$

$\Rightarrow AC\perp SN$

Xét $(SAC)$, có $AC\perp SN$ (1)

Mà $AC\perp SA$ ( do $\Rightarrow SA\perp (SAC)$ (2)

$(1);(2)\Rightarrow N\equiv A$ , điều này là không thể vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $(1);(2)\Rightarrow N\not\equiv A$

Ở đây nếu sử dụng trực tiếp đường vuông góc chung thì sẽ rất khó khăn và phức tạp nên khi chứng minh khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau, ta thường dùng công thức tính thể tích tứ diện hoặc đường thẳng song song mặt phẳng, cách thể tích thì sử dụng kiến thức $12$ nên mình xin xài cách đường thẳng song song mặt phẳng của $11$.

--------------------------------------

a)

Trong $(ABC)$, kẻ tia $Bx$ qua $B$ và song song với $AC$, kẻ tia $Ay$ qua $A$ và vuông góc với $AC$

$Bx$ cắt $Ay$ tại $D$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} BD//AC\\ BD\subset (SBD) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AC//(SBD)$

$\Rightarrow d(AC;SB)=d[AC;(SBD)]$

Trong $(SAD)$, kẻ $AK\perp SD$ (1)

$\Delta ABC$ vuông cân tại $B$, $N$ trung điểm $AC$

$\Rightarrow BN\perp AC$

Mà $AD//CN\Rightarrow AD\perp AC$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} SA\perp AC\\ AD\perp AC \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AC\perp (SAD)$

Mà $AC//BD$

$\Rightarrow BD\perp (SAC)$

$\Rightarrow BD\perp AK$ (2)

$(1);(2)\Rightarrow d[AC;(SBD)]=AK$

Ta có: $ANBD$ là hình chữ nhật (có $3$ góc vuông)

Mà $\Delta ABC$ vuông tại $B$, có $BN$ trung tuyến

$\Rightarrow BN=AN$

$\Rightarrow ANBD$ là hình vuông

$\Rightarrow AD=NB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$:

$\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AD^{2}}$

$AK=\frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d[AC;(SBD)]=d(AC;SB)=AK=\frac{2a}{3}$

b) cách làm cũng tương tự như câu a)

[tolaphuy10a1lhp]

Cảm ơn bạn. Thật ra cách giải mình thắc mắc ở trên là ở ví dụ 7, trang 158 trong cuốn HHKG của Thầy Nguyễn văn Nho - Lê Bảy. Mình đọc mà không hiểu cách giải, câu b sách giải cũng sai mới bực chứ???