Chủ đề này có 4 trả lời

[tranthiennhan]

Bài 1: Chứng minh rằng hệ vectơ a₁, a₂,..., a_r phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ a_i, i thuộc {1,2,...,r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

Bài 2: Cho V là không gian vectơ trên R và x,y,z thuộc V. Chứng minh rằng {x,y,z} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {x+y, y+z, z+x} cũng độc lập tuyến tính.

[CD13]

Câu 1: Đây là một định lí và được chứng minh gần như đầy đủ trong tất cả các giáo trình Đại số tuyến tính.
Câu 2: Mình chỉ chứng minh chiều thuận (ngược lại thì cũng vậy thôi!)
Giả sử {$x,y,z$} độc lập tuyến tính, tức là $\alpha x+\beta y+\gamma z=0\Leftrightarrow \alpha =\beta =\gamma =0$. Bây giờ ta chứng minh {$x+y,y+z,z+x$} độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu
$\alpha (x+y)+\beta (y+z)+\gamma (x+z)=0\\\Leftrightarrow \alpha x+\beta y+\gamma z+\alpha y+\beta z+\gamma x=0\\\Leftrightarrow \alpha =\beta =\gamma =0$
Như vậy {$x+y,y+z,z+x$} độc lập tuyến tính.

[tranthiennhan]

Câu 1: Đây là một định lí và được chứng minh gần như đầy đủ trong tất cả các giáo trình Đại số tuyến tính.
Câu 2: Mình chỉ chứng minh chiều thuận (ngược lại thì cũng vậy thôi!)
Giả sử {$x,y,z$} độc lập tuyến tính, tức là $\alpha x+\beta y+\gamma z=0\Leftrightarrow \alpha =\beta =\gamma =0$. Bây giờ ta chứng minh {$x+y,y+z,z+x$} độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu
$\alpha (x+y)+\beta (y+z)+\gamma (x+z)=0\\\Leftrightarrow \alpha x+\beta y+\gamma z+\alpha y+\beta z+\gamma x=0\\\Leftrightarrow \alpha =\beta =\gamma =0$
Như vậy {$x+y,y+z,z+x$} độc lập tuyến tính.

Bạn ơi, bạn giải thích dùm mình chỗ $\alpha (x+y)+\beta (y+z)+\gamma (x+z)=0\\\Leftrightarrow \alpha x+\beta y+\gamma z+\alpha y+\beta z+\gamma x=0\\\Leftrightarrow \alpha =\beta =\gamma =0$
Sao mình không suy thẳng ra alpha=beta=gamma=0 ngay từ dòng 1 mà phải phân phối vào. Rồi để bài nó chưa cho tổ hợp tuyến tính đó =0 mà mình đc phép dùng nếu à? Mình không rõ một tí phần chứng minh này. Mong bạn chỉ giáo giúp mình với... nếu có gì mất căn bản xin bạn bỏ qua cho!

[CD13]

Có thể hiểu như thế này nè bạn:
$\alpha (x+y)+\beta (y+z)+\gamma (z+x)=0\\\Leftrightarrow \alpha x+\beta y+\gamma z+\alpha y+\beta z+\gamma x=0$
Nhưng do $x,y,z$ độc lập tuyến tính nên $\alpha =\beta =\gamma =0$

[Draconid]

Có lẽ như thế này sẽ dễ hiểu hơn. Ta CM chiều thuận

Xét hệ vecto { x+y , y+z , z+x ) và bộ số { $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ } ta thiết lập được tổng P = $k_{1}.\left ( x+y \right )$ + $k_{2}.\left ( y+z \right )$ + $k_{3}.\left ( z+x \right )$ = $\left ( k_{1}+k_{3} \right ).x + \left ( k_{1}+k_{2} \right ).y + \left ( k_{2}+k_{3} \right ).z$


Do { x,y,z } ĐLTT nên P=0 <=> $k_{1}+k_{3}=k_{2}+k_{1}=k_{3}+k_{2}=0$ => $k_{1}=k_{2}=k_{3}=0$ => ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Draconid: 29-05-2012 - 22:41