Chủ đề này có 1 trả lời

[Lamat]

Giải PT:

$4^{sinx} - 2^{1 + sinx}cos(xy) + 2^{|y|} = 0$

[Crystal]

Giải PT:

$4^{sinx} - 2^{1 + sinx}cos(xy) + 2^{|y|} = 0$

SOLUTION:

Phương trình đã cho tương đương với:
\[{\left[ {{2^{\sin x}} - \cos \left( {xy} \right)} \right]^2} + \left[ {{2^{\left| y \right|}} - {{\cos }^2}\left( {xy} \right)} \right] = 0\]
Ta có:

$ \bullet \,\,\,\,\,{\left[ {{2^{\sin x}} - \cos \left( {xy} \right)} \right]^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$


$ \bullet \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{2^{\left| y \right|}} \ge 1\\
{\cos ^2}\left( {xy} \right) \le 1
\end{array} \right. \Rightarrow {2^{\left| y \right|}} - {\cos ^2}\left( {xy} \right) \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: \[{\left[ {{2^{\sin x}} - \cos \left( {xy} \right)} \right]^2} + \left[ {{2^{\left| y \right|}} - {{\cos }^2}\left( {xy} \right)} \right] \ge 0\]
Dấu "=" xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^{\sin x}} - \cos \left( {xy} \right) = 0\\
{2^{\left| y \right|}} - {\cos ^2}\left( {xy} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^{\sin x}} = \cos \left( {xy} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\
{2^{\left| y \right|}} = {\cos ^2}\left( {xy} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)
\end{array} \right.\]
Phương trình $\left( 4 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^{\left| y \right|}} = 1\\
{\cos ^2}\left( {xy} \right) = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 0$

Thay vào phương trình $(3)$, ta có:
\[{2^{\sin x}} = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {k\pi ;0} \right),\,\,\,k \in \mathbb{Z}$