Chủ đề này có 1 trả lời

[hoa_giot_tuyet]

Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho AC=a,BC=b.Đường thẳng qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D. Dựng đường tròn tâm J bán kính $r_1$ tiếp xúc với CA,CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đk AB. Dựng đường tròn tâm K bán kính $r_2$ tiếp xúc với CB,CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đk AB.Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I) của tg ABD
a) Tính $r_1,r_2$ theo a,b.

b) tìm hệ thức liên hệ giữa $r_1,r_2,r$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoa_giot_tuyet: 29-05-2012 - 23:59

[perfectstrong]

Lời giải:
a)Hạ $JH, KL \perp AB$. Đặt $a+b=AB=s$: không đổi.

Ta có:
\[
\begin{array}{l}
JO^2 = r_1^2 + OH^2 = r_1^2 + \left| {CH - CO} \right|^2 = r_1^2 + CH^2 + CO^2 - 2CH.CO \\
= 2r_1^2 + \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2 - 2r_1 .\frac{{a - b}}{2} = 2r_1^2 - r_1 \left( {a - b} \right) + \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}{4} \\
JO = FO - FJ = \frac{{a + b}}{2} - r_1 \Rightarrow JO^2 = \frac{{\left( {a + b} \right)^2 }}{4} + r_1^2 - r_1 \left( {a + b} \right) \\
\Rightarrow 2r_1^2 - r_1 \left( {a - b} \right) + \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}{4} = \frac{{\left( {a + b} \right)^2 }}{4} + r_1^2 - r_1 \left( {a + b} \right) \\
\Leftrightarrow r_1^2 + 2br_1 - ab = 0 \\
\Delta _{r_1 } ' = b^2 + ab \Rightarrow r_1 = \sqrt {bs} - b \\
\end{array}
\]
Tương tự, $r_2 = \sqrt{as}-a$
b) Ta đi tính $r$.
\[
\begin{array}{l}
DC = \sqrt {ab} \Rightarrow AD = \sqrt {AC^2 + CD^2 } = \sqrt {as} \\
DB = \sqrt {bs} \\
r = \frac{{DA + DB - AB}}{2} = \frac{{\sqrt {as} + \sqrt {bs} - s}}{2} = \frac{{r_1 + r_2 }}{2} \\
\end{array}
\]