Trong hình chữ nhật có diện tích bằng 5, có 9 hình chữ nhật nhỏ diện tích bằng 1. chứng minh rằng tồn tại hai hình chữ nhật nhỏ có phần chung không nhỏ hơn $\frac{1}{9}$
Trong hình chữ nhật có diện tích bằng 5
Started By Lnmn179, 02-06-2012 - 07:10
#2
Posted 02-06-2012 - 09:18
Tru09
-
- Thành viên
-
- 625 posts
Thiếu úy
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng . Gọi các hình chữ nhật nhỏ là : $A_{1} ,A_{2} , A_{3},A_{4} ...... A_{9}$
giả sử diện tích các phần chung của 2 hình chữ nhật nào cũng nhỏ hơn $\frac{1}{9}$
$A_{1}$ có diện tích =1
Phần diện tích của$A_{2}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ luôn lớn hơn :
1 - $\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$
Phần diện tích của $A_{3}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$
Phần diện tích của $A_{4}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$
Phần diện tích của $A_{5}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$
Phần diện tích của $A_{6}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$
Phần diện tích của $A_{7}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9}= \frac{3}{9}$
Phần diện tích của $A_{8}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ và $A_{7}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9}= \frac{2}{9}$
Phần diện tích của $A_{9}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ và $A_{7}$ và $A_{8}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$
Tổng diện tích của 9 hình chữ nhật sẽ lớn hơn:
$\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\frac{6}{9}+\frac{5}{9}+\frac{4}{9}+\frac{3}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=5 $
Điều nè vô lý
giả sử diện tích các phần chung của 2 hình chữ nhật nào cũng nhỏ hơn $\frac{1}{9}$
$A_{1}$ có diện tích =1
Phần diện tích của$A_{2}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ luôn lớn hơn :
1 - $\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$
Phần diện tích của $A_{3}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$
Phần diện tích của $A_{4}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$
Phần diện tích của $A_{5}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$
Phần diện tích của $A_{6}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$
Phần diện tích của $A_{7}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9}= \frac{3}{9}$
Phần diện tích của $A_{8}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ và $A_{7}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9}= \frac{2}{9}$
Phần diện tích của $A_{9}$ không bị phủ bởi $A_{1}$ và $A_{2}$ và $A_{3}$ và $A_{4}$ và $A_{5}$và $A_{6}$ và $A_{7}$ và $A_{8}$ luôn lớn hơn :
1-$\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$
Tổng diện tích của 9 hình chữ nhật sẽ lớn hơn:
$\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+\frac{6}{9}+\frac{5}{9}+\frac{4}{9}+\frac{3}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=5 $
Điều nè vô lý
Edited by Tru09, 02-06-2012 - 09:21.
- Lnmn179 and BlackSelena like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
