4 replies to this topic

[minhdat881439]

Cho $a,b,c>0. Chứng minh:

7(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9abc+2(a+b+c)^{3}$

[alex_hoang]

Cho $a,b,c>0. Chứng minh:

7(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9abc+2(a+b+c)^{3}$

Đầu tiên thì ta có thể chuẩn hoá $a+b+c=1$
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc
Với $a,b,c$ là các số thực dương thì
\[(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \le abc\]
Hay là
\[4(ab + bc + ca) \le 9abc + 1\]
Công việc còn lại của ta là chứng minh
\[1 \ge 3(ab + bc + ca) \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \ge 3(ab + bc + ca) \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\]
Bài toán được chứng minh

[minhdat881439]

Đầu tiên thì ta có thể chuẩn hoá $a+b+c=1$
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc
Với $a,b,c$ là các số thực dương thì
\[(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \le abc\]
Hay là
\[4(ab + bc + ca) \le 9abc + 1\]
Công việc còn lại của ta là chứng minh
\[1 \ge 3(ab + bc + ca) \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \ge 3(ab + bc + ca) \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\]
Bài toán được chứng minh

Làm sao biết để mà chuẩn hóa vậy anh

[alex_hoang]

Một bất đẳng thức có thể chuẩn hoá khi nó thuần nhất nhưng không phải BĐT thuần nhất nào cũng có thể chuẩn hoá em xem thêm trong cuốn sáng tạo bất đẳng thức của anh Hùng về kĩ thuật chuẩn hoá nhé

[KH1]

Cho $a,b,c>0. Chứng minh:

7(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9abc+2(a+b+c)^{3}$

BDT đã cho tương đương với
$$(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2 \ge 0$$
(thực ra bài toán này yếu hơn schur bậc 3)