Chủ đề này có 1 trả lời

[GodEgypt]

Cho đường tròn O dây AB cố định khác đường kính. Trên cung nhỏ AB lấy C, vẽ dây CD vuông góc với AB tại H, CK vuông góc với AD tại K. E là giao điểm của HK và BD.
Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để CK.AD + CE.BD có GTLN.

[minhtuyb]

Cho đường tròn O dây AB cố định khác đường kính. Trên cung nhỏ AB lấy C, vẽ dây CD vuông góc với AB tại H, CK vuông góc với AD tại K. E là giao điểm của HK và BD.
Tìm vị trí của điểm C trên cung nhỏ AB để CK.AD + CE.BD có GTLN.

SOLUTION:
-Ta dễ dàng c/m $CE\perp AB$ (đây có thể nói là bài toán ngược của đường thẳng Sim-sơn)
Sau khi c/m xong ta có:
$$CK.AD+CE.BD=2S_{ACD}+2S_{BCD}=2S_{ACBD}=AB.CD$$
Mà $AB$ có độ dài không đổi (gt) nên $CK.AD+CE.BD$ đạt GTLN khi và chỉ khi $CD$ đạt GTLN
Mặt khác, $CD\le 2R$ với $R$ là bán kính đường tròn $(O)$ (theo quan hệ giữa dây và đường kính trong đường tròn)
Suy ra $CK.AD+CE.BD\le 2R.AB=const$
Dấu bằng xảy ra khi $CD$ là đường kính của đường tròn $(O)$
Vậy $max(CK.AD+CE.BD)=2R.AB$ khi $CD$ là đường kính của đường tròn $(O)$