Chủ đề này có 2 trả lời

[le_hoang1995]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
36x^2y-60x^2+25y=0\\ 36y^2z-60y^2+25z=0
\\ 36z^2x-60z^2+25x=0

\end{matrix}\right.$$

[minh29995]

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
36x^2y-60x^2+25y=0\\ 36y^2z-60y^2+25z=0
\\ 36z^2x-60z^2+25x=0

\end{matrix}\right.$$

Hệ đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} y=\frac{60x^2}{36x^2+25}\\ z=\frac{60y^2}{36y^2+25}\\ x=\frac{60z^2}{36z^2+25} \end{matrix}\right.$
Suy ra $x,y,z\geq 0$
Xét:
$f(t)=\frac{60t^2}{36t^2+25}$ với $t\geq 0$ có:
$f'(t)=\frac{3000t}{\left (36t^2+25 \right )^2}\geq 0$
Giả sử $x\geq y\geq z$ suy ra
$f(x)\geq f(y)\geq f(z)$
Suy ra $y\geq z\geq x$
Do đó: x=y=z thay vào hệ ta có nghiệm:
$\begin{bmatrix} x=y=z=0\\ x=y=z=\frac{5}{6} \end{bmatrix}$

[le_hoang1995]

Một cách làm khác.
$y=\frac{60x^2}{36x^2+25}$ nên $y\geq 0$. Tương tự $x,z\geq0$.

TH1, dễ thấy $x=y=z=0$ là nghiệm.

TH2, xét $x,y,z>0$.

Hệ trên suy ra:$$xyz=\frac{60^3x^2y^2z^2}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}$$
$$\Leftrightarrow 1=\frac{60^3xyz}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}\leq \frac{60^3xyz}{(2.6.5.x)(2.6.5.y)(2.6.5.z)}=1$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{6}$

Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0)$ và $\left ( \frac{5}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{6} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 05-06-2012 - 07:30