Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
36x^2y-60x^2+25y=0\\ 36y^2z-60y^2+25z=0
\\ 36z^2x-60z^2+25x=0
\end{matrix}\right.$$
HPT $$\left\{\begin{matrix} 36x^2y-60x^2+25y=0\\ 36y^2z-60y^2+25z=0 \\ 36z^2x-60z^2+25x=0 \end{matrix}\right.$$
Started By le_hoang1995, 04-06-2012 - 23:26
Tặng Linh và Ly
#1
Posted 04-06-2012 - 23:26
#2
Posted 05-06-2012 - 06:49
Hệ đã cho tương đương với:Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
36x^2y-60x^2+25y=0\\ 36y^2z-60y^2+25z=0
\\ 36z^2x-60z^2+25x=0
\end{matrix}\right.$$
$\left\{\begin{matrix} y=\frac{60x^2}{36x^2+25}\\ z=\frac{60y^2}{36y^2+25}\\ x=\frac{60z^2}{36z^2+25} \end{matrix}\right.$
Suy ra $x,y,z\geq 0$
Xét:
$f(t)=\frac{60t^2}{36t^2+25}$ với $t\geq 0$ có:
$f'(t)=\frac{3000t}{\left (36t^2+25 \right )^2}\geq 0$
Giả sử $x\geq y\geq z$ suy ra
$f(x)\geq f(y)\geq f(z)$
Suy ra $y\geq z\geq x$
Do đó: x=y=z thay vào hệ ta có nghiệm:
$\begin{bmatrix} x=y=z=0\\ x=y=z=\frac{5}{6} \end{bmatrix}$
- ngminhtuan, Apollo Second, MIM and 2 others like this
${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém
#3
Posted 05-06-2012 - 07:29
Một cách làm khác.
$y=\frac{60x^2}{36x^2+25}$ nên $y\geq 0$. Tương tự $x,z\geq0$.
TH1, dễ thấy $x=y=z=0$ là nghiệm.
TH2, xét $x,y,z>0$.
Hệ trên suy ra:$$xyz=\frac{60^3x^2y^2z^2}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}$$
$$\Leftrightarrow 1=\frac{60^3xyz}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}\leq \frac{60^3xyz}{(2.6.5.x)(2.6.5.y)(2.6.5.z)}=1$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{6}$
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0)$ và $\left ( \frac{5}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{6} \right )$
$y=\frac{60x^2}{36x^2+25}$ nên $y\geq 0$. Tương tự $x,z\geq0$.
TH1, dễ thấy $x=y=z=0$ là nghiệm.
TH2, xét $x,y,z>0$.
Hệ trên suy ra:$$xyz=\frac{60^3x^2y^2z^2}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}$$
$$\Leftrightarrow 1=\frac{60^3xyz}{(36x^2+25)(36y^2+25)(36z^2+25)}\leq \frac{60^3xyz}{(2.6.5.x)(2.6.5.y)(2.6.5.z)}=1$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{6}$
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0)$ và $\left ( \frac{5}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{6} \right )$
Edited by le_hoang1995, 05-06-2012 - 07:30.
- Apollo Second, MIM and werfdsa like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users