Chủ đề này có 1 trả lời

[trungdung97]

Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H.Tìm GTLN của biểu thức P=HA+HB+HC

[phaidautruongphan9997]

Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H.Tìm GTLN của biểu thức P=HA+HB+HC

Bạn tự vẽ hình nha!..
Vẽ đường tròn (O;R) là đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC.Gọi độ dài BC,CA,AB lần lượt là a,b,c
Kẻ các đương kính AOD;BOE;COF. dễ có : AH=BF=CE ; BH=AF=CD ; CH=AE=BD
Áp dụng đinh lí Ptoleme vào các tứ giác nội tiếp, ta có:
2a.R=c.BH+b.CH (1)
2b.R=a.CH+c.AH (2)
2b.R =a.BH+b.AH (3
(1)+(2)+(3) $\Rightarrow$ 2R.(a+b+c)= a(BH+CH)+b(CH+AH)+c(BH+AH)
$\Leftrightarrow$ 2R(a+b+c)+4S=(a+b+c)(AH+BH+CH) (do aHA+bHB+cHC=4S)(*)
Mặt # : 16S² $\leq$ (a+b+c).abc =4R.S.(a+b+c) $\Rightarrow$ 4S$\leq$ 4R.(a+b+c) (**)
Từ (*), (**) $\Rightarrow$ P=AH+BH+CH$\leq$ 3R
Vậy GTLN P=3R$\Leftrightarrow$$\Delta$ABC đều