Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^{2}}{a^{2}-ab+3b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}-bc+3c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{c^{2}-ca+3a^{2}}\ge 1$$

[viet 1846]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^{2}}{a^{2}-ab+3b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}-bc+3c^{2}}+\dfrac{c^{2}}{c^{2}-ca+3a^{2}}\ge 1$$

BĐT trên tương đương với. BĐT cho $x;y;z>0$ thỏa mãn $xyz=1$ chứng minh rằng:

\[\sum {\frac{1}{{3{x^2} - x + 1}}} \ge 1\]




\[ineq \Leftrightarrow \frac{1}{{3{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} - \frac{b}{a} + 1}} + \frac{1}{{3{{\left( {\frac{c}{b}} \right)}^2} - \frac{c}{b} + 1}} + \frac{1}{{3{{\left( {\frac{a}{c}} \right)}^2} - \frac{a}{c} + 1}} \ge 1\]

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}\\
y = \sqrt[3]{{\frac{c}{b}}}\\
z = \sqrt[3]{{\frac{a}{c}}}
\end{array} \right. \Rightarrow xyz = 1$

Bất đẳng thức trở thành:

\[\frac{1}{{3{x^6} - {x^3} + 1}} + \frac{1}{{3{y^6} - {y^3} + 1}} + \frac{1}{{3{z^6} - {z^3} + 1}} \ge 1\]

Ta lại có: \[\frac{1}{{3{x^6} - {x^3} + 1}} \ge \frac{1}{{{x^{10}} + {x^5} + 1}}\]

thật vậy bđt này tương đương:
\[{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^5} + 2{x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 2x + 1} \right) \ge 0\]

Xây dựng các bđt tương tự và cộng lại với nhau ta được:

\[LHS \ge \frac{1}{{{x^{10}} + {x^5} + 1}} + \frac{1}{{{y^{10}} + {y^5} + 1}} + \frac{1}{{{z^{10}} + {z^5} + 1}} \ge 1 \Rightarrow Q.E.D\]

BĐT được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c$