Chủ đề này có 2 trả lời

[Lamat]

Cho pt: $\sqrt{x - 1} + 4m\sqrt[4]{x^2 - 3x + 2} + (m + 3)\sqrt{x - 2} = 0$

Tìm $m$ để pt trên có nghiệm thực.

[khanh3570883]

Cho pt: $\sqrt{x - 1} + 4m\sqrt[4]{x^2 - 3x + 2} + (m + 3)\sqrt{x - 2} = 0$

Tìm $m$ để pt trên có nghiệm thực.

Xét x = 2, phương trình VN
Xét $x \ne 2$, chia cả 2 vế cho $\sqrt {x - 2} $
$t = \sqrt[4]{{\frac{{x - 1}}{{x - 2}}}} \Rightarrow t \in ...$
Khi đó có:
$\begin{array}{l}
{t^2} + 4mt + m + 3 = 0 \\
\Rightarrow m = - \frac{{{t^2} + 3}}{{4t + 1}} \\
\end{array}$
Đặt: $f\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 3}}{{4t + 1}}$
...

[Crystal]

Cho pt: $\sqrt{x - 1} + 4m\sqrt[4]{x^2 - 3x + 2} + (m + 3)\sqrt{x - 2} = 0$

Tìm $m$ để pt trên có nghiệm thực.

Giải trọn vẹn nhé.

GIẢI.

Điều kiện: $x \ge 2$.

$ \bullet \,\,\,$ Nếu $x = 2$, ta có: $1=0$. Suy ra phương trình vô nghiệm.

$ \bullet \,\,\,$ Nếu $x > 2$, chia hai vế của phương trình cho $\sqrt {x - 2} $, ta được:
\[\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x - 2}}} + 4m\sqrt[4]{{\frac{{x - 1}}{{x - 2}}}} + m + 3 = 0\]
Đặt $t = \sqrt[4]{{\frac{{x - 1}}{{x - 2}}}} > 1$, ta có phương trình:
\[{t^2} + 4mt + m + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Đến đây ta nghĩ đến 2 hướng giải quyết cơ bản sau.

Hướng 1: Dùng tam thức bậc hai.

Phân tích và giải:

1 - Để phương trình đã cho có nghiệm thực thì cần có phương trình $(1)$ phải có ít nhất một nghiệm lớn hơn $1$.

2 - Với bài toán so sánh nghiệm với một số như trên, nếu sử dụng Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai thì rất đơn giản. Nhưng mình đang giải trong phạm vi để các bạn tham khảo (những kiến thức được dùng khi đi thi) nên mình sẽ không đề cập đến cách giải này.

3 - Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thuần túy để tránh va chạm vào kiến thức trên. Điều này có thể dễ dàng thực hiện thông qua đưa bài toán trở thành: Tìm $m$ để phương trình có ít nhất một nghiệm dương bằng cách đặt $u = t - 1$. Do $ t > 1$ nên $u>0$.

Dạng toán này thì hoàn toàn giải được chỉ với những phần cơ bản về phương trình bậc hai.

Khi đó ta có thể chia ra các trường hợp sau (xét theo biến $u$)

$ \bullet \,\,\,$ Phương trình có nghiệm kép dương.

$ \bullet \,\,\,$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt nhưng có đúng một nghiệm dương.

$ \bullet \,\,\,$ Phương trình có 2 nghiệm duơng phân biệt.

Lời giải chi tiết về phần này mình sẽ gửi sau.

Hướng 2: Sử dụng hàm số.

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + \left( {4t + 1} \right)m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{{{t^2} + 3}}{{4t + 1}} = f\left( t \right)\]
Ta sẽ xét đến sự tương giao giữa đồ thị hàm số $y = f\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 3}}{{4t + 1}}\,\,\,\,\,\,\left( C \right),\,\,\,\left( {t > 1} \right)$ với đường thẳng $d:y = m$.

Bình luận: Ta đã biết, số nghiệm của phương trình $m = - \frac{{{t^2} + 3}}{{4t + 1}}$ chính là số giao điểm của $\left( C \right)$ với $d$. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi $d$ cắt $\left( C \right)$ (tại một điểm, hai điểm,...)

Quay lại bài toán.

Tiếp theo ta cần làm những việc sau:

1 - Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 3}}{{4t + 1}}\,\,,\,\,\,\left( {t > 1} \right)$.

Ta có: $f'\left( t \right) = - \frac{{4{t^2} + 2t - 12}}{{{{\left( {4t + 1} \right)}^2}}}$. Suy ra: \[f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{3}{2}\\
t = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\,\,\,\left( \text{do}\,\,\,\,{t > 1} \right)\]
Bảng biến thiên:
$$\begin{array}{|c|ccccccccc|}
\hline
x & -\infty & \; & 1 & \; & \;& \frac{3}{2} & \; & +\infty\\
\hline
f^\prime(x) & & \; & \Big\| & \; \; + & \; & 0 & - &\; \\
\hline
\; & \; & & \Big\| & \; & \; & - \frac{3}{4} &\; &\; \\
f(x) & & \; &\Big\|& \; & \nearrow & \; & \searrow & \; \\
\quad & & \; &\Big\|& - \frac{4}{5} & \; & \: & \; & -\infty\\
\hline
\end{array}$$
Dựa vào bảng biến thiên, $d$ cắt $\left( C \right)$ $ \Leftrightarrow m \le - \frac{3}{4}$. Điều này chứng tỏ phương trình đã cho có nghiệm.

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm $ \Leftrightarrow m \le - \frac{3}{4}$.