Chủ đề này có 6 trả lời

[hoangtunho]

cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O $SA \perp (ABCD)$. AB=a, SA = $a\sqrt{2}$.
gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SD. tính thể tích của OAHK?
em làm ra $\frac{a^{3}}{18}\sqrt{2}$. nhưng không đúng !!
các anh chị giúp em nha!!

[hoangtunho]

không ai giúp em ah!!

[minh29995]

cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O $SA \perp (ABCD)$. AB=a, SA = $a\sqrt{2}$.
gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SD. tính thể tích của OAHK?
em làm ra $\frac{a^{3}}{18}\sqrt{2}$. nhưng không đúng !!
các anh chị giúp em nha!!

Ta có:
$AC\perp BD$, $BD\perp SA$
Do đó:
$(SBD)\perp (SAO)$
Từ A kẻ $AI\perp SO$ suy ra $AI\perp (OHK)$
Dễ dàng chứng minh được $HK=\frac{1}{2}BD=\frac{a}{\sqrt{2}}$
$SO=\sqrt{SA^2+AO^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}a$
Ta có:
$S_{OHK}=\frac{1}{2}S_{SHOK}=\frac{1}{4}SO.HK=\frac{\sqrt{5}}{8}a^2$
$\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{AS^2}+\frac{1}{AO^2}\Rightarrow AI=\frac{\sqrt{10}}{5}a$
Ta có:
$S_{AOHK}=\frac{1}{3}.S_{OHK}.AI=\frac{\sqrt{2}}{24}a^3$

[vantho302]

Đáp án bằng bao nhiêu bạn? Để mình giải thử

[hoangtunho]

đáp án là $V=\frac{2a^{3}}{27}$ anh ạ!! và trước đó đầu bài hỏi chứng minh $SC \perp (AHK)$ và em chưng minh được rùi !
anh minh giải sai rùi !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtunho: 14-06-2012 - 07:06

[vantho302]

Ta sẽ chứng minh được
$\begin{array}{l}
AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\\
AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AK \bot SC\\
\Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right)
\end{array}$
* Tìm giao tuyến của (SAC) và (AHK)
Trong mặt phẳng (SBD), $SO \cap HK = M$
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {AHK} \right) \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ M \right\}\\
\left( {AHK} \right) \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ A \right\}
\end{array} \right.\]
Hay \[\left( {AHK} \right) \cap \left( {SAC} \right) = AM\]
Kéo dài AM cắt SC tại N. Từ đó AN là đường giao tuyến của (SAC) và (AHK)
Ta có
$\begin{array}{l}
SC \bot \left( {AHK} \right)\\
\Rightarrow SN \bot \left( {AHK} \right)
\end{array}$
Do đó, SN là đường cao của hình chóp ${V_{S.AHK}} = \frac{1}{3}SN.{S_{\Delta AHK}}$ (mình mượn hình chóp này để tìm ${S_{\Delta AHK}}$ )
* Tính SN
Xét tam giác SAC vuông tại A có AN là đường cao
$\frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} \Leftrightarrow A{N^2} = {a^2}$
Xét tam giác SAN vuông tại N, $S{N^2} = S{A^2} - A{N^2} = 2{a^2} - {a^2} = {a^2}$
$ \Rightarrow SN = a$
* Tính ${V_{S.AHK}}$
Ta có ${V_{S.ABD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}$
Và $\Delta SAB = \Delta SAD \Rightarrow SB = SD$
H, K chia SB và SD những đoạn thẳng tỉ lệ nhau
$\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}}$
* Xét $\Delta SAB$ vuông tại A, có đường cao AH
$S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} = 2{a^2} + {a^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow SB = a\sqrt 3 $
$\begin{array}{l}
S{A^2} = SH.SB \Leftrightarrow SH = \frac{{S{A^2}}}{{SB}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\\
\Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{2}{3}
\end{array}$
$ \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{2}{3}$
Phương pháp tỉ lệ khối chóp:
$\frac{{{V_{S.AHK}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SH}}{{SB}}.\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{4}{9}$
$ \Leftrightarrow {V_{S.AHK}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABD}} = \frac{4}{9}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{{27}}$
* Tính ${S_{\Delta AHK}}$
${V_{S.AHK}} = \frac{1}{3}SN.{S_{\Delta AHK}} = \frac{1}{3}a.{S_{\Delta AHK}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{{27}} \Leftrightarrow {S_{\Delta AHK}} = \frac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{9}$
* Xác định đường cao của hình chóp OAHK
Trong mặt phẳng (SAC), dựng đường OF song song với SC, khi đó OF là đường trung bình tam giác SAC
$\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot \left( {AHK} \right)\\
OF\parallel SC
\end{array} \right. \Rightarrow OF \bot \left( {AHK} \right)$
Trong mặt phẳng (SAC), $OF \cap AN = I$
$ \Rightarrow OI \bot \left( {AHK} \right)$ hay OI là đường cao hình chóp OAHK
* Tính OI
Xét tam giác AOF vuông tại A, có AI là đường cao (F là trung điểm SA)
$\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{F^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} \Leftrightarrow A{I^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow AI = \frac{a}{2}$
Xét tam giác AIO vuông tại I
$I{O^2} = A{O^2} - I{A^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow IO = \frac{a}{2}$
Bây giờ ta sẽ tính ${V_{OAHK}}$
${V_{OAHK}} = \frac{1}{3}OI.S\Delta AHK = \frac{1}{3}\frac{a}{2}.\frac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{9} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{27}}$
Bạn xem lại đáp án thử $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{27}}$ mới đúng hình như đáp án của bạn bị nhầm rồi

[hoangtunho]

để em xem lại ! thank anh da giúp em!