Chủ đề này có 2 trả lời

[nguoiyeutoan95]

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a/ $tan x > x+\frac{x^{3}}{3}$ ($0<x<\frac{pi}{2}$)
b/ $cos x > 1-\frac{x^{2}}{2}$ (x khác 0)
c/$\frac{tan a}{a} <\frac{tan b}{b}$ với $0<a<b<\frac{pi}{2}$

[perfectstrong]

Giải câu a, các câu khác tương tự.
a/ Xét hàm số \[
f\left( x \right) = \tan x - x - \frac{{x^3 }}{3}\left( {x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)
\]
\[
\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 1 + \tan ^2 x - 1 - \frac{{3x^2 }}{3} = \tan ^2 x - x^2 \\
f''\left( x \right) = 2\tan x.\left( {1 + \tan ^2 x} \right) - 2x = 2\tan x + 2\tan ^3 x - 2x \\
f'''\left( x \right) = 2\left( {1 + \tan ^2 x} \right) + 4\tan ^2 x\left( {1 + \tan ^2 x} \right) - 2 = 2\tan ^2 x + 4\tan ^2 x\left( {1 + \tan ^2 x} \right) > 0 \\
\Rightarrow f''\left( x \right) \uparrow {\rm{ tren }}\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow f''\left( x \right) > f''\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) \uparrow {\rm{ tren }}\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \\
\Rightarrow f'\left( x \right) > f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) \uparrow {\rm{ tren }}\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}
\]

[kvthanh]

Thấy bài này giống bài mình đã đăng trên blog của minh nên góp thêm mấy bài tập dạng này nữa.

Chứng minh các bất đẳng thức:
a) $ \tan x>x$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$;
b) $ \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$.

Lời giải
a) $ \tan x>x$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $ f(x)=\tan x-x$ trên $ ([0;\pi/2)$
$ f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\tan^2x\geq 0$ với mọi $ x\in [0;\pi/2)$
Suy ra hàm số $ f(x)$ ĐB trên $ [0;\pi/2)$. Do đó $ f(x)>f(0)=0$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$ (ĐPCM)

b) $ \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$ với mọi $ x\in (0;\pi/2)$
Xét hàm số $ f(x)=\tan x-x-\dfrac{x^3}{3}$ trên $ [0;\pi/2)$
$ f'(x)=(\tan x+x)(\tan x-x)\geq 0$ với mọi $ x\in [0;\pi/2)$ (theo 1.)
Suy ra $ f(x)$ ĐB trên $ [0;\pi/2)$
Do đó $ f(x)>f(0)=0$ trên $ [0;\pi/2)$ (đpcm)

Bài tập thêm

3. Chứng minh các BĐT:
a) $ \sin x<x, \forall x>0$
b) $ \sin x>x,\forall x<0$
c) $ \sin x+\tan x>2x,\forall x\in(0;\pi/2)$