Chủ đề này có 3 trả lời

[minhdat881439]

Cho x,y,z $> 0$.Tìm giá trị lớn nhất của:
$A=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+xz}+\frac{xz}{z^{2}+xz+yx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 13-06-2012 - 20:23

[le_hoang1995]

Cho mình hỏi chút, bạn xem lại đề cái số hạng cuối cùng nó không đối xứng với 2 cái trước( rút đi z được)
Theo í của mình thì đề bài đúng là $$A=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+xz}+\frac{xz}{z^{2}+xz+xy}$$
Và đáp số $max=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 13-06-2012 - 13:08

[nthoangcute]

Theo í của mình thì đề bài đúng là $$A=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+xz}+\frac{xz}{z^{2}+xz+xy}$$

Nếu như vậy thì bài lại quá đơn giản:
Đặt $\frac{x}{y}=a^3$, $\frac{y}{z}=b^3$, $\frac{z}{x}=c^3$
Suy ra $abc=1$ và $a,b,c<0$
Suy ra
$$A=\frac{xy}{x^{2}+xy+yz}+\frac{yz}{y^{2}+yz+xz}+\frac{xz}{z^{2}+xz+xy}$$
$$=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}$$
$$\leq \frac{1}{ab(a+b)+abc}+\frac{1}{bc(b+c)+abc}+\frac{1}{ca(c+a)+abc}$$
$$=\frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ca(a+b+c)}$$
$$=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}$$
$$=1$$
Vậy $A_{max}=1$

[Katyusha]

Một hướng khác

Cauchy-Schwarz:
$$\dfrac{xy}{x^2+xy+yz} = \dfrac{xy(1+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y})}{(x^2+xy+yz)(1+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y})} \le \dfrac{y^2+xy+xz}{(x+y+z)^2}$$
Tương tự cho 2 phân thức còn lại, ta có được:
$$A \le \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$$