Chủ đề này có 2 trả lời

[nightshade]

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.chu vi bằng 2.
Min của $4\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )+15xyz$

[kainguyen]

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.chu vi bằng 2.
Min của $4\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )+15xyz$

Đặt $\left\{\begin{matrix}
a+b+c=p=2\\
ab+bc+ca=q\\
abc=r
\end{matrix}\right.$

Từ đây suy ra: $q \le \frac{p^2}{3}=\frac{4}{3}$

Khi đó $4\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )+15xyz$ trở thành:

$A=4(p^3-3pq+3r)+15r=-24q+27r+32$

Theo Schur, ta có: $r\geq max\left \{ 0;\frac{p(4q-p^2)}{9} \right \}=max\left \{ 0;\frac{8q-8}{9} \right \}$

Đến đây xét 2 TH:

TH1: $q \le 1 \Rightarrow -24q+27r+32\geq -24q+32\geq 8$

TH2: $q \ge 1 \Rightarrow -24q+27r+32\geq -24q+27.\frac{8q-8}{9}+32=8$

nên $A \ge 8$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{2}{3} $

Vậy $MinA=8$ tại $x=y=z=\frac{2}{3} $

- Bạn có thể đặt: $\left\{\begin{matrix}
a+b=S\\
ab=P
\end{matrix}\right.$
rồi quy về 1 ẩn và khảo sát hàm số.

[viet 1846]

Đặt $\left\{\begin{matrix}
a+b+c=p=2\\
ab+bc+ca=q\\
abc=r
\end{matrix}\right.$

Từ đây suy ra: $q \le \frac{p^2}{3}=\frac{4}{3}$

Khi đó $4\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )+15xyz$ trở thành:

$A=4(p^3-3pq+3r)+15r=-24q+27r+32$

Theo Schur, ta có: $r\geq max\left \{ 0;\frac{p(4q-p^2)}{9} \right \}=max\left \{ 0;\frac{8q-8}{9} \right \}$

Đến đây xét 2 TH:

TH1: $q \le 1 \Rightarrow -24q+27r+32\geq -24q+32\geq 8$

TH2: $q \ge 1 \Rightarrow -24q+27r+32\geq -24q+27.\frac{8q-8}{9}+32=8$

nên $A \ge 8$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{2}{3} $

Vậy $MinA=8$ tại $x=y=z=\frac{2}{3} $

- Bạn có thể đặt: $\left\{\begin{matrix}
a+b=S\\
ab=P
\end{matrix}\right.$
rồi quy về 1 ẩn và khảo sát hàm số.

Có phức tạp thế không bạn?

Giả sử $LHS \ge 8$


\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) + 15xyz \ge {\left( {x + y + z} \right)^3}\\
\Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 5xyz \ge \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\\
\Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz \ge xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right)
\end{array}\]