Bài toán 1:
Cho hai điểm $ A(1;1;0),B(3;-1;4)$ và đường thẳng
$ d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{2}$
Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Đây là một trong số các bài toán cực trị hình học thuộc chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian mà mathblog.org sẽ lần lượt giới thiệu.
Trước khi giải chi tiết Bài toán 1, chúng ta xét bài toán tổng quát: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A,B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Để giải Bài toán tổng quát trên, ta xét các trường hợp sau:
TH1: Đường thẳng AB và d đồng phẳng.
Trong TH1 lại xét hai khả năng:
KN1: A,B nằm khác phía đối với d.
Khi đó $ MA+MB\geq AB$ nên $ MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ M,A,B$ thẳng hàng. Suy ra $ M=AB\cap d$.
KN2: A,B nằm về cùng phía đối với d.
Khi đó gọi A' là điểm đối xứng với A qua d. Ta có $ MA+MB=MA'+MB\geq A'B$. Do đó MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M,A',B thẳng hàng. Suy ra $ M=A'B\cap d$.
TH2. Đường thẳng AB và d không đồng phẳng.
Ta sẽ tiến hành giải Bài toán 2 luôn vì nó rơi vào TH này, sau đó sẽ rút ra phương pháp chung.
Giả sử $ M\in d\Rightarrow M(-1+t;1-t;-2+2t)$.
$ MA=\sqrt{(t-2)^2+(-t)^2+(2t-2)^2}=\sqrt{6t^2-12t+8}$
$ MB=\sqrt{6t^2-36t+56}$
Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số
$ f(t)=\sqrt{6t^2-12t+8}+\sqrt{6t^2-36t+56}$
Ta viết $ f(t)=\sqrt{(\sqrt{6}t-\sqrt{6})^2+2}+\sqrt{(\sqrt{6}t-3\sqrt{6})^2+2}$
Đặt $ \overrightarrow{u}=(\sqrt{6}t-\sqrt{6};\sqrt{2})$
$ \overrightarrow{v}=(-\sqrt{6}t+3\sqrt{6};\sqrt{2})$
Khi đó ta có $ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
Suy ra $ f(t)\geq \sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai vecto $ \overrightarrow{u}$ và $ \overrightarrow{v}$ cùng hướng hay $ \dfrac{\sqrt{6}t-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}t+3\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}>0$
Tương đương t=2.
Vậy M(1;-1;2).
Bình luận: Trong cách giải trên ta sử dụng BĐT hình học
$ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
và mấu chốt để cách giải này luôn thực hiện được là do hệ số của $ t^2$ trong hai biểu thức dưới căn luôn bằng nhau.
Chú ý khác là mọi tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c$ không âm trên $ \mathbb{R}$ luôn viết được dưới dạng $ f(x)=(\alpha x+\beta)^2+\gamma^2$.
Bài tập thêm
Cho đường thẳng $ d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$ và hai điểm A(0;1;2), B(-1;2;3).
Tìm M thuộc d sao cho
1. $ MA^2+MB^2$ nhỏ nhất.
2. $ MA+MB$ nhỏ nhất.
3. $ |2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
4. $ |2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
Nguồn: http://mathblog.org
Bài toán cực trị hình học: Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.
Bắt đầu bởi kvthanh, 14-06-2012 - 11:29
#1
Đã gửi 14-06-2012 - 11:29
- CD13, hxthanh, võ triết huỳnh linh và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 14-06-2012 - 22:16
Cách giải của bạn rất hay. Nhưng có đôi chút ở chỗ xét trường hợp. Vì trong không gian khi cho tọa độ hai đường thẳng thì mình có thể biết được hai đường thẳng đó có đồng phẳng hay không. Không phải xét trường hợp nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conlocsanco: 14-06-2012 - 22:17
- võ triết huỳnh linh yêu thích
#3
Đã gửi 14-06-2012 - 22:59
Xét hai TH ở đây không nằm trong lời giải bài toán này mà chỉ là phân tích trong TH tổng quát xem có bao nhiêu khả năng. Khi gặp bài toán cụ thể bạn có thể xét xem rơi vào TH nào để chọn cách giải theo TH đó.Cách giải của bạn rất hay. Nhưng có đôi chút ở chỗ xét trường hợp. Vì trong không gian khi cho tọa độ hai đường thẳng thì mình có thể biết được hai đường thẳng đó có đồng phẳng hay không. Không phải xét trường hợp nữa
Tuy nhiên cách giải ở trên áp dụng được trong cả hai TH, do đó khi gặp bài toán dạng này bạn có thể giải theo cách trên mà không cần quan tâm đến bài toán rơi vào TH nào.
- võ triết huỳnh linh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh