Chủ đề này có 1 trả lời

[kvthanh]

Bài viết này mathblog.org giới thiệu về một dạng toán hay gặp trong các kỳ thi đại học: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Thông thường, với các dạng bài tập này, ta cần cô lập tham số sang một vế của phương trình, tức là đưa PT về dạng $ f(x)=A(m)$. Khi đó nghiệm của PT trên chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $ y=f(x)$ với đường thẳng $ y=A(m)$, ở đây $ A(m)$ là biểu thức chứa tham số $ m$. Trước khi đưa ra một số ví dụ, ta nhắc lại một số kết quả cơ bản về phép biến đổi đồ thị. Giả sử hàm số $ y=f(x)$ có đồ thị $ ©$. Từ đồ thị $ ©$ ta có thể suy ra đồ thị của một số hàm số sau:
1) Hàm số $ y=-f(x)$ có đồ thị là $ (C_1)$.
$ (C_1)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Lấy đối xứng đồ thị $ ©$ qua trục hoành.
2) Hàm số $ y=|f(x)|$ có đồ thị là $ (C_2)$.
$ (C_2)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của $ ©$ qua trục hoành.
3) Hàm số $ y=f(|x|)$ có đồ thị là $ (C_3)$.
$ (C_3)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải này qua trục tung.
4) Hàm số $ y=|f(|x|)|$ có đồ thị là $ (C_4)$.
$ (C_4)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Thực hiện hai bước, lần lượt lấy $ (C_3)$ rồi $ (C_2)$.
5) Hàm số $ y=|u(x)|v(x)$ hoặc $ y=\frac{u(x)}{|v(x)|}$ có đồ thị là $ (C_5)$.
$ (C_5)$ được suy ra từ đồ thị $ y=u(x)v(x)$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị của
$ y=u(x)v(x)$ trong miền $ u(x)>0$ (hoặc tương ứng, $ v(x)>0$) và lấy đối xứng phần còn lại qua trục hoành.

Ví dụ 1.

- Đồ thị hàm số $ y=x^3-3x^2+2$

- Đồ thị hàm số $ y=-(x^3-3x^2+2)$

- Đồ thị hàm số $ y=|x^3-3x^2+2|$

- Đồ thị hàm số $ y=|x|^3-3x^2+2$

- Đồ thị hàm số $ y=||x|^3-3x^2+2|$

- Đồ thị hàm số $ y=|x-1|(x^2-2x^2-2)$

Ví dụ 2. (A06).

1. Khảo sát SBT và vẽ ĐT hàm số $ y=2x^3-9x^2+12x-4$.
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm thực phân biệt $ 2|x|^3-9x^2+12|x|=m$. (1)

Hướng dẫn.

1. Phần khảo sát (bạn đọc tự làm)
Đồ thị
2.
Đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ có dạng
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow 2|x|^3-9x^2+12|x|-4=m-4$.
Số nghiệm của PT (1) bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ và đường thẳng $ y=m-1$. Từ đồ thị, suy ra PT (1) có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $ 0<m-4<1\Leftrightarrow 4<m<5$.

Các bài tập đề nghị:

Bài 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình $ \frac{(x-1)^2}{|x-2|}=m$.
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=x^3-3x^2+2$.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình $ x^2-2x-2=\frac{k}{|x-1|}$.
Nguồn: http://mathblog.org

[huyhoangle86]