Chủ đề này có 1 trả lời

[kvthanh]

Cho hàm số $ y=\dfrac{2x+4}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ .
Tìm trên $ (C)$ hai điểm $ M, N$ thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài đoạn $ MN$ nhỏ nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kvthanh: 15-06-2012 - 11:25

[Crystal]

Cho hàm số $ y=\dfrac{2x+4}{x+1}$ có đồ thị $©$ .
Tìm trên $ ©$ hai điểm $ M, N$ thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài đoạn $ MN$ nhỏ nhất.

* TXĐ: $x \in \mathbb{R} /\left\{ { - 1} \right\}$

* Các đường tiệm cận:
+ Tiệm cận đứng: $x=-1$
+ Tiệm cận ngang: $y=2$

* Ta có: \[y = \frac{{2x + 4}}{{x + 1}} = 2 + \frac{2}{{x + 1}}\]
Gọi $\left\{ \begin{array}{l}
M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\,\,\,\,\,\text{thuộc nhánh trái của}\,\,\,\left( C \right)\\
N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\,\,\,\,\,\text{thuộc nhánh phải của}\,\,\,\left( C \right)
\end{array} \right.$. Do ${x_1} < - 1 < {x_2}$ nên đặt $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = - 1 - \alpha \\
{x_2} = - 1 + \beta
\end{array} \right.\,\,\,\left( {\alpha > 0,\beta > 0} \right)$

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = 2 + \frac{2}{{ - 1 - \alpha + 1}} = 2 - \frac{2}{\alpha }\\
{y_2} = 2 + \frac{2}{{ - 1 + \beta + 1}} = 2 + \frac{2}{\beta }
\end{array} \right. \Rightarrow M{N^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2}\]
\[ = {\left( {\alpha + \beta } \right)^2} + {\left( {\frac{2}{\beta } + \frac{2}{\alpha }} \right)^2} = {\left( {\alpha + \beta } \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {\frac{2}{{\alpha \beta }}} \right)}^2}} \right]\]
Đến đây áp dụng Cauchy là OK.