Chủ đề này có 1 trả lời

[donghaidhtt]

với $0\leq x\leq 3$ Tìm GTLN và GTNN của $A=x\sqrt{5-x}+(3-x)\sqrt{2+x}$

[nthoangcute]

với $0\leq x\leq 3$ Tìm GTLN và GTNN của $A=x\sqrt{5-x}+(3-x)\sqrt{2+x}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
$$A^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x(5-x)}+\sqrt{3-x}.\sqrt{(3-x)(2+x)})^2$$
$$\leq (x+3-x)(x(5-x)+(3-x)(2+x))$$
$$=6(-x^2+3x+3)=-6(x-\frac{3}{2})^2+\frac{63}{2} \leq \frac{63}{2}$$
Vậy $A \leq 3 \sqrt{\frac{7}{2}}$
$A_{max}= \sqrt{\frac{7}{2}} $khi và chỉ khi $x=\frac{3}{2}$

____________________-
Ta lại có:
$$A^2=x^2(5-x)+(3-x)^2(2+x)+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(x+2)}$$
$$=x(x-3)+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(x+2)}+18$$
$$=x(3-x)(\sqrt{(5-x)(x+2)}-1)+18$$
$$=x(3-x).\frac{x(3-x)+9}{\sqrt{(5-x)(x+2)}+1}+18$$
$$\geq 18$$
Vậy $A_{ min}=\sqrt{18}$ khi và chỉ khi $x=0$ hoặc $x=3$
______
Suy ra đpcm