Chủ đề này có 3 trả lời

[minhdat881439]

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{4z-1} & \\ y+z=\sqrt{4x-1} & \\ x+z=\sqrt{4y-1} & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 17-06-2012 - 13:50

[nthoangcute]

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{4z-1} & \\ y+z=\sqrt{4x-1} & \\ x+z=\sqrt{4y-1} & \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: .....

Cách 1:
Giả sử $x>y$ suy ra $x+z>y+z$ suy ra $\sqrt{4y-1}>\sqrt{4x-1}$ suy ra $4y-1>4x-1$ suy ra $y>x$ suy ra vô lí
Giả sử $x<y$, CMTT như trên
Vậy $x=y$, suy ra ...

Cách 2:
Từ 2 PT đầu suy ra: $x+y-y-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}$
Hay $x-z=\frac{4(z-x)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}$
Tương đương với $(x-z)(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}})=0$
Hay $x=z$, suy ra ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 17-06-2012 - 14:19

[NLT]

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{4z-1} & \\ y+z=\sqrt{4x-1} & \\ x+z=\sqrt{4y-1} & \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: .....

Cách 1:
Giả sử $x>y$ suy ra $x+z>y+z$ suy ra $\sqrt{4y-1}>\sqrt{4x-1}$ suy ra $4y-1>4x-1$ suy ra $y>x$ suy ra vô lí
Giả sử $x<y$, CMTT như trên
Vậy $x=y$, suy ra ...

Cách 2:
Từ 2 PT đầu suy ra: $x+y-y-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}$
Hay $x-z=\frac{4(z-x)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}$
Tương đương với $(x-z)(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}}=0$
Hay $x=z$, suy ra ...

________
P/S: 2 cách làm của Việt trên đây đều có mục đích là đi chứng minh x=y=z, vì đây là hệ hoán vị vòng quanh khá đẹp, tuy nhiên, hãy đến với lời giải sau, không hề có mục đích như của Việt - nthoangcute...
________
$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution 3:
ĐKXĐ: ${\rm{x,y,z}} \ge \frac{1}{4}$
Nhân 2 vế của mỗi phương trình cho 2 rồi cộng vế theo vế 3 phương trình vừa tìm được, ta có:

$\begin{array}{l}
4\left( {x + y + z} \right) = 2\sqrt {4x - 1} + 2\sqrt {4y - 1} + 2\sqrt {4z - 1} \\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4x - 1} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {4y - 1} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {4z - 1} - 1} \right)^2} = 0 \\
\Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{2}\left( {True} \right) \\
\end{array}$
$\boxed{\textit{The problem is completely solved ...}}$
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-06-2012 - 14:07

[nthoangcute]

________
P/S: 2 cách làm của Việt trên đây đều có mục đích là đi chứng minh x=y=z, vì đây là hệ hoán vị vòng quanh khá đẹp, tuy nhiên, hãy đến với lời giải sau, không hề có mục đích như của Việt - nthoangcute...
________
$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution 3:
ĐKXĐ: ${\rm{x,y,z}} \ge \frac{1}{4}$
Nhân 2 vế của mỗi phương trình cho 2 rồi cộng vế theo vế 3 phương trình vừa tìm được, ta có:

$\begin{array}{l}
4\left( {x + y + z} \right) = 2\sqrt {4x - 1} + 2\sqrt {4y - 1} + 2\sqrt {4z - 1} \\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4x - 1} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {4y - 1} - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {4z - 1} - 1} \right)^2} = 0 \\
\Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{2}\left( {True} \right) \\
\end{array}$
$\boxed{\textit{The problem is completely solved ...}}$
___

Cách của ông công nhận là hay, từ đó sẽ có một cách nữa:

Cách 4:
ĐKXĐ:...
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta được:
$2\sqrt{4x-1} \leq 1+4x-1=4x$
Suy ra $\sqrt{4x-1} \leq 2x$
hay $2x-y-z \geq 0$
CMTT ta được
$2y-z-x \geq 0$
$2z-x-y \geq 0$
Từ 3 BĐT này suy ra $0=(2x-y-z)+(2y-z-x )+(2z-x-y) \geq 0$
Suy ra dấu đẳng thức phải sảy ra
Hay $x=y=z =\frac{1}{2}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy $x=y=z=\frac{1}{2}$
______________
Sẽ còn lời giải khác cho bài này