Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangnhathuy]

$\int_{-\pi/4 }^{\pi/2} \frac{cosxdx}{e^x+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangnhathuy: 17-06-2012 - 14:25

[ttqt]

Giải như sau:

M=$\int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{2}\frac{cosx}{e^x+1}dx$

Đặt $u=cosx\Rightarrow du=-sinxdx\\ vdv=\frac{1}{e^x+1}dx\Rightarrow v=\int\frac{1}{e^x+1}dx=\int\frac{e^x}{e^x(e^x+1)}dx$

Tính v:

Đặt $w=e^x+1\Rightarrow dw=e^xdx\\$

Suy ra: $v=\int\frac{dw}{(w-1).w}=\int\bigg(\frac{1}{w-1}-\frac{1}{w}\bigg)dw=ln\bigg|\frac{w-1}{w}\bigg|=ln\frac{e^x}{e^x+1}$

Khi đó:
$M=\bigg(cosx.ln\frac{e^x}{e^x+1}\bigg)\bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}sinx.ln\frac{e^x}{e^x+1}dx\\ =-\frac{\sqrt{2}}{2}ln\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}}{e^{-\frac{\pi}{4}}+1}+\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}sinx.ln\frac{e^x}{e^x+1}dx$

Đặt N=$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}sinx.ln\frac{e^x}{e^x+1}dx$
Tính N:
Đặt $u=ln\frac{e^x}{e^x+1}\Rightarrow du=dx\\ vdv=sinxdx\Rightarrow v=-cosx$
Khi đó: $N=\bigg(-cosx.ln\frac{e^x}{e^x+1}\bigg)\bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx\\=\frac{\sqrt{2}}{2}ln\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}}{e^{-\frac{\pi}{4}}+1}+sinx\bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\\=\frac{\sqrt{2}}{2}ln\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}}{e^{-\frac{\pi}{4}}+1}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy M=$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$