Chủ đề này có 2 trả lời

[tiachopkientruc]

CMR nếu $b+c\geqslant 2$ thì một trong 2 pt sau có nghiệm
$x^{2}+2bx+c=0 và x^{2}+2cx+b=0$

[NLT]

CMR nếu $b+c\geqslant 2$ thì một trong 2 pt sau có nghiệm
$x^{2}+2bx+c=0 và x^{2}+2cx+b=0$

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Solution:

Gọi 2 phương trình đề ra lần lượt là (1) và (2), ta có:

$\Delta {'_1} = {b^2} - c;\Delta {'_2} = {c^2} - b$ $\Rightarrow \Delta {'_1} + \Delta {'_2} = \left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \left( {b + c} \right)$

Mặt khác, theo Cauchy-Schwarz: ${b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} \ge b + c$ (do $b + c \ge 2$).

Suy ra: $\Delta {'_1} + \Delta {'_2} \ge 0$ nên có ít nhất 1 trong 2 số: $\Delta {'_1},\Delta {'_2}$ không âm $\to$ Ít nhất 1 trong 2 phương trình (1) và (2) có nghiệm $\to Q.E.D$

$\boxed{\textit{The problem is completely solved...}}$
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-06-2012 - 16:45

[khaitam]

CMR nếu $b+c\geqslant 2$ thì một trong 2 pt sau có nghiệm
$x^{2}+2bx+c=0 và x^{2}+2cx+b=0$

$\begin{array}{l}
\Delta _1^' = b^2 - c\,\,,\,\,\Delta _2^' = c^2 - b\,\, \\
\Rightarrow \Delta _1^' + \Delta _2^' \, = b^2 - c + c^2 - b\, = b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1 + b + c - 2 \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + (b + c - 2) \ge 0\,\,\,\,\left[ {(b + c - 2) \ge 0\,\,} \right] \\
\end{array}$

Suy ra: $\Delta {'_1} + \Delta {'_2} \ge 0$ nên có ít nhất 1 trong 2 số: $\Delta {'_1},\Delta {'_2}$ không âm $\to$ Ít nhất 1 trong 2 phương trình (1) và (2) có nghiệm $\to dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khaitam: 20-06-2012 - 23:14