CMR:
$\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3} \leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-06-2012 - 17:00
CMR: $\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3} \leq \frac{1}{2}$
Bắt đầu bởi nguyen_ct, 17-06-2012 - 16:44
#1
Đã gửi 17-06-2012 - 16:44
nguyen_ct
-
- Thành viên
-
- 729 Bài viết
Đại Tướng (Nguyên Soái) :)
cho $a^2+b^2+c^2=3$
CMR:
$\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3} \leq \frac{1}{2}$
CMR:
$\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3} \leq \frac{1}{2}$
AT: yaaaaaaaaa! Tất cả là tương đối
FM:đúng vậy tất cả là tương đối với thời gian là hằng số bất biến
FN: thời gian được Chúa tạo ra và chia làm 2 chiều 1 chiều hướng về hiện tại 1 chiều về tương lai ,với mốc là hiện tại
AT:thế trước khi Chúa tạo ra thời gian thì Chúa làm gì ?
FM: Chúa tạo ra địa ngục cho những tên nào hỏi câu đó !!!!
FM:đúng vậy tất cả là tương đối với thời gian là hằng số bất biến
FN: thời gian được Chúa tạo ra và chia làm 2 chiều 1 chiều hướng về hiện tại 1 chiều về tương lai ,với mốc là hiện tại
AT:thế trước khi Chúa tạo ra thời gian thì Chúa làm gì ?
FM: Chúa tạo ra địa ngục cho những tên nào hỏi câu đó !!!!
#2
Đã gửi 18-06-2012 - 08:23
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 Bài viết
Thượng úy
Em nghĩ bài này cần có điều kiện a,b,c>0
Áp dụng bđt Cô si ta có:
$\frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{a}{2a+2b+2}$
Tương tự và cộng lại $\to \frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leq \frac{a}{2a+2b+2}+\frac{b}{2b+2c+2}+\frac{c}{2c+2a+2}$
$\to$ cần c/m $\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$
$\Leftrightarrow 1-\frac{a}{a+b+1}+1-\frac{b}{b+c+1}+1-\frac{c}{c+a+1}\geq 2$
$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$
Mà $$\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}$$
$$=\frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}+\frac{(c+1)^2}{(c+1)(b+c+1)}+\frac{(a+1)^2}{(c+a+1)(a+1)}$$
$$\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3}$$
Nên ta chỉ cần c/m $(a+b+c+3)^2\geq 2[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3]$
Nhưng đây thực ra chỉ là 1 đẳng thức do $a^2+b^2+c^2=3$
Vậy bài toán đã được c/m.Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Áp dụng bđt Cô si ta có:
$\frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{a}{2a+2b+2}$
Tương tự và cộng lại $\to \frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\leq \frac{a}{2a+2b+2}+\frac{b}{2b+2c+2}+\frac{c}{2c+2a+2}$
$\to$ cần c/m $\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$
$\Leftrightarrow 1-\frac{a}{a+b+1}+1-\frac{b}{b+c+1}+1-\frac{c}{c+a+1}\geq 2$
$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$
Mà $$\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}$$
$$=\frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}+\frac{(c+1)^2}{(c+1)(b+c+1)}+\frac{(a+1)^2}{(c+a+1)(a+1)}$$
$$\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3}$$
Nên ta chỉ cần c/m $(a+b+c+3)^2\geq 2[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3]$
Nhưng đây thực ra chỉ là 1 đẳng thức do $a^2+b^2+c^2=3$
Vậy bài toán đã được c/m.Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-06-2012 - 08:24
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#3
Đã gửi 18-06-2012 - 08:24
kainguyen
-
- Thành viên
-
- 101 Bài viết
Trung sĩ
cho $a^2+b^2+c^2=3$
CMR:
$\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3} \leq \frac{1}{2}$
Bạn xem ở đây:
http://diendantoanho...ndpost&p=326429
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
