Chủ đề này có 4 trả lời

[minhdat881439]

GHPT:
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=1 & \\ 8^{9}.x^{3}.y^{4}.z^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 19-06-2012 - 10:03

[Crystal]

GHPT:
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=1 & \\ 8^{9}.x^{3}.y^{4}.z^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

SOLUTION:

Xét phương trình thứ nhất của hệ, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} = \frac{2}{{x + 1}} + \frac{{4y}}{{y + 1}} + \frac{{2z}}{{z + 1}}\\
\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{3x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y + 1}} + \frac{{2z}}{{z + 1}}\\
\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{3x}}{{x + 1}} + \frac{{4y}}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}}
\end{array} \right.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^2}{y^4}{z^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^4}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}}}}\\
\frac{1}{{y + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^3}{y^3}{z^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^3}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}}}}\\
\frac{1}{{z + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^3}{y^4}z}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^4}\left( {z + 1} \right)}}}}
\end{array} \right.$$
$$\Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^4}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \ge {8^9}\sqrt[8]{{\frac{{{x^{24}}{y^{32}}{z^{16}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{24}}{{\left( {y + 1} \right)}^{32}}{{\left( {z + 1} \right)}^{16}}}}}}$$
\[ \Rightarrow {8^9}{x^3}{y^4}{z^2} \le 1\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 1}} = \frac{y}{{y + 1}} = \frac{z}{{z + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{8}$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{1}{8};\frac{1}{8};\frac{1}{8}} \right)$.

[minhdat881439]

SOLUTION:

Xét phương trình thứ nhất của hệ, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} = \frac{2}{{x + 1}} + \frac{{4y}}{{y + 1}} + \frac{{2z}}{{z + 1}}\\
\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{3x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y + 1}} + \frac{{2z}}{{z + 1}}\\
\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{3x}}{{x + 1}} + \frac{{4y}}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}}
\end{array} \right.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^2}{y^4}{z^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^4}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}}}}\\
\frac{1}{{y + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^3}{y^3}{z^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^3}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}}}}\\
\frac{1}{{z + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^3}{y^4}z}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^4}\left( {z + 1} \right)}}}}
\end{array} \right.$$
$$\Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^4}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \ge {8^9}\sqrt[8]{{\frac{{{x^{24}}{y^{32}}{z^{16}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{24}}{{\left( {y + 1} \right)}^{32}}{{\left( {z + 1} \right)}^{16}}}}}}$$
\[ \Rightarrow {8^9}{x^3}{y^4}{z^2} \le 1\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 1}} = \frac{y}{{y + 1}} = \frac{z}{{z + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{8}$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{1}{8};\frac{1}{8};\frac{1}{8}} \right)$.

cho em hỏi là sao có ý tưởng đó vậy anh

[Crystal]

cho em hỏi là sao có ý tưởng đó vậy anh

Theo anh thì thế này:

+ Số ẩn nhiều hơn số phương trình, ta thường sử dụng phương pháp đánh giá và trong trường hợp này, ta nghĩ đến bất đẳng thức.

+ $x,y,z$ trong phương trình thứ hai có bậc khác nhau, ta dùng Cauchy đưa về cùng bậc.

[tieulyly1995]

SOLUTION:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^2}{y^4}{z^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {y + 1} \right)}^4}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}}}}\\
\frac{1}{{y + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^3}{y^3}{z^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^3}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}}}}\\
\frac{1}{{z + 1}} \ge 8\sqrt[8]{{\frac{{{x^3}{y^4}z}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^4}\left( {z + 1} \right)}}}}
\end{array} \right.$$
$$\Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}{{\left( {y + 1} \right)}^4}{{\left( {z + 1} \right)}^2}}} \ge {8^9}\sqrt[8]{{\frac{{{x^{24}}{y^{32}}{z^{16}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{24}}{{\left( {y + 1} \right)}^{32}}{{\left( {z + 1} \right)}^{16}}}}}}$$
\[ \Rightarrow {8^9}{x^3}{y^4}{z^2} \le 1\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 1}} = \frac{y}{{y + 1}} = \frac{z}{{z + 1}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{8}$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm là $\left( {x;y;z} \right) = \left( {\frac{1}{8};\frac{1}{8};\frac{1}{8}} \right)$.

Em tưởng áp dụng bất đẳng thức Cauchy chỉ cho các số không âm thôi. Mình đâu có chứng minh được là không âm mà áp dụng hả anh ?