Chủ đề này có 2 trả lời

[sky of win D]

Cho PT x⁴ +(2m² - 1)x² + 7m - 1
tìm điều kiện của m để PT có 4 nghiệm x₁,x_2,x_3,x₄ phân biệt và x₁² + x₂² + x₃² + x₄² =10

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho PT x⁴ +(2m² - 1)x² + 7m - 1 = 0 (1)
tìm điều kiện của m để PT có 4 nghiệm x₁,x_2,x_3,x₄ phân biệt và x₁² + x₂² + x₃² + x₄² =10

Giải

Đặt $t = x^2 \geq 0$, phương trình (1) trở thành:
$$t^2 + (2m^2 - 1).t + 7m - 1 = 0 \,\, (2)$$

Phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương. Điều này đồng nghĩa với:
$\left\{\begin{array}{l}\Delta_{(2)} = (2m^2 - 1)^2 - 4(7m - 1) > 0\\S_{(2)} = t_1 + t_2 > 0\\P_{(2)} = t_1.t_2 > 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4m^4 - 4m^2 - 28m + 5 > 0\\1 - 2m^2 > 0\\7m - 1 > 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4m^4 - 4m^2 - 28m + 5 > 0\\\dfrac{- 1}{\sqrt{2}} < m < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\m < \dfrac{1}{7}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4m^4 - 4m^2 - 28m + 5 > 0\\\dfrac{- 1}{\sqrt{2}} < m < \dfrac{1}{7}\end{array}\right.$

Ta sẽ xét tới điều kiện:
$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 10 \,\, (3)$$
Gọi $t_1; t_1$ lần lượt là 2 nghiệm dương của phương trình (2)

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 = t_1\\x^2 = t_2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{t_1}\\x = \pm \sqrt{t_2}\end{array}\right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1 = \sqrt{t_1}; x_2 = - \sqrt{t_1}; x_3 = \sqrt{t_2}; x_4 = -\sqrt{t_2}$

$\Rightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 2t_1 + 2t_2 = 2(1 - 2m^2) \,\, (4)$

Từ (3) và (4), suy ra:
$2(1 - 2m^2) = 10 \Leftrightarrow 1 - 2m^2 = 5 \Leftrightarrow m^2 = -2$

Liệu có nhầm lẫn gì ở đây không nhỉ? :3

[thukilop]

Không có m để thỏa yêu cầu đề