Chủ đề này có 5 trả lời

[tranvandung19972012]

Cho $a+b+c=2$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng có ít nhất một số bằng $2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 30-06-2012 - 20:19

[L Lawliet]

Cho a+b+c=2

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$
Cm có ick nhất một số bằng 2

Bài này có nhiều ở VMF rồi, lần sau bạn chịu khó tìm nhé ^^
ĐKXĐ: $a\neq 0$, $b\neq 0$, $c\neq 0$.
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{c-(a+b+c)}{c(a+b+c)}=0$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)} \right )=0$$
$$\Leftrightarrow (2-c)(ca+bc+c^2+ab)=0$$
$$\Leftrightarrow (2-c)(b+c)(c+a)=0$$
$$\Leftrightarrow (2-a)(2-b)(2-c)=0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 30-06-2012 - 20:17

[henry0905]

Cho a+b+c=2

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$
Cm có ick nhất một số bằng 2

a+b+c=2
$\Leftrightarrow a+b=2-c$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}-\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{c-2}{2c}$
$\Leftrightarrow \frac{2-c}{ab}=\frac{c-2}{2c}=0$
$\Leftrightarrow c=2$
Vì a,b,c có vai trò tương tự nên ta có dpcm

[9ainmyheart]

t k hiểu cách giải của bài này.từ dòng thứ 2 suy ra dòng 3.rõ rang trước dấu ngoặc là dấu trừ sau khi phá ngoặc lại k còn dấu trừ nữa

[henry0905]

t k hiểu cách giải của bài này.từ dòng thứ 2 suy ra dòng 3.rõ rang trước dấu ngoặc là dấu trừ sau khi phá ngoặc lại k còn dấu trừ nữa

Mình không phải là người post nhưng mình nghĩ dòng thứ hai chắc tại đánh máy nhanh nên bạn ấy nhầm:
$\frac{1}{c}-\frac{1}{2}=\frac{2-c}{2c}=\frac{a+b+c-c}{c(a+b+c)}=\frac{a+b}{c(a+b+c)}$
(Hình như bạn nói bạn Quân thì phải???)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 30-06-2012 - 20:35

[L Lawliet]

t k hiểu cách giải của bài này.từ dòng thứ 2 suy ra dòng 3.rõ rang trước dấu ngoặc là dấu trừ sau khi phá ngoặc lại k còn dấu trừ nữa

Mình biến đổi kĩ lại nhé ^^
ĐKXĐ: $abc\neq 0$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)} \right )=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)\left ( \frac{ab+ac+ca+c^2}{abc(a+b+c)} \right )=0$$
Do với ĐKXĐ thì $a$, $b$, $c$ khác 0 nên phương trình tương đương:
$$\Leftrightarrow (a+b)(ab+bc+ca+c^2)=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)\left ( a(b+c)+c(b+c) \right )=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$$
$$\Leftrightarrow (2-a)(2-b)(2-c)=0$$