Cho x,y,z $\geq 0$ và x,y,z $\leq 3$. CMR:
$\frac{x}{1+x^{2}}$+$\frac{y}{1+y^{2}}$+$\frac{z}{1+z^{2}}$$\leq \frac{3}{2}$$\leq$$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$
Cho x,y,z $\geq 0$ và x,y,z $\leq 3$. CMR:
Bắt đầu bởi axe900, 30-06-2012 - 23:23
#2
Đã gửi 30-06-2012 - 23:44
nucnt772
-
- Thành viên
-
- 209 Bài viết
Thượng sĩ
a) ta có: $\frac{2x}{1+x^{2}}\leq$$\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}=1$ $\Rightarrow$ $\frac{x}{1+x^{2}}\leq \frac{1}{2}$
tuong tu: $\frac{y}{1+y^{2}}\leq \frac{1}{2}$ ; $\frac{z}{1+z^{2}}\leq \frac{1}{2}$.
do đó $\frac{x}{1+x^{2}}$+$\frac{y}{1+y^{2}}$+$\frac{z}{1+z^{2}}$$\leq \frac{3}{2}$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ x=y=z=1
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có;
$(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z})$.$(1+x+1+y+1+z)\geq$$3.\sqrt[3]{\frac{1}{1+x}.\frac{1}{1+y}.\frac{1}{1+z}}$.$3.\sqrt[3]{(1+x).(1+y).(1+z)}\geq 9$
$\Rightarrow$: $\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$$\geq \frac{9}{3+x+y+z}\geq \frac{3}{2}$
dấu "=" xay ra $\Leftrightarrow$ x=y=z=1
tuong tu: $\frac{y}{1+y^{2}}\leq \frac{1}{2}$ ; $\frac{z}{1+z^{2}}\leq \frac{1}{2}$.
do đó $\frac{x}{1+x^{2}}$+$\frac{y}{1+y^{2}}$+$\frac{z}{1+z^{2}}$$\leq \frac{3}{2}$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ x=y=z=1
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có;
$(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z})$.$(1+x+1+y+1+z)\geq$$3.\sqrt[3]{\frac{1}{1+x}.\frac{1}{1+y}.\frac{1}{1+z}}$.$3.\sqrt[3]{(1+x).(1+y).(1+z)}\geq 9$
$\Rightarrow$: $\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+z}$$\geq \frac{9}{3+x+y+z}\geq \frac{3}{2}$
dấu "=" xay ra $\Leftrightarrow$ x=y=z=1
- Mai Duc Khai, donghaidhtt, 9ainmyheart và 1 người khác yêu thích
cnt
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
