Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Tìm tập giá trị của hàm số: $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} $

[Ispectorgadget]

Bài toán: Tìm tập giá trị của hàm số: $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} $

Đặt $f(x)=\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$
TXĐ:$D=\mathbb{R}$
$$f'(x)=\frac{1}{2}[\frac{(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}-2(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}}]$$
Dễ thấy $f'(x)>0\forall x\in R$
Đặt $m=(2x+1)\sqrt{x^2-x+1};\, n=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}\Rightarrow m^2-n^2=6x$
và dựa vào $m>0 \forall x>\frac{-1}{2}; n>0 \forall x>\frac{1}{2}$ .
Ta tính được $\lim_{x\to \pm \infty }=\pm 1$
Lập bảng biến thiên ta có kết quả bài toán là $\boxed{-1<f(x)<1}$

[Crystal]

...
Lập bảng biến thiên ta có kết quả bài toán là $\boxed{-1<f(x)<1}$

SAI! Làm lại đi em.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) \ne \pm 1$
___
=.= chắc em tính đạo hàm nhầm. Để em làm lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-07-2012 - 22:57

[Tham Lang]

Post lời giải lên đi em. Như trên là hơi spam đó nhé.

Em xin lỗi vì giờ em mới đọc được cái này.
Cách 1.
$f^2(x)=2x^2+2+2\sqrt{x^4+x^2+1}\ge 4\Leftrightarrow f(x)\ge 2 (f(x)>0)$
Cách 2.
$f'(x)=\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}+\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow 2x\left (\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\right )-\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=0$
TH1. $x=0$
TH2. $\left (\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\right )^2=1$phương trình này vô nghiệm.
Dễ thấy $f''(x)>0$ suy ra $f(x)\ge 2$