Chủ đề này có 3 trả lời

[MatRFLOL]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MatRFLOL: 03-07-2012 - 21:09

[Ispectorgadget]

Lời giải:
$P=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$
Áp dụng BĐT B.C.S ta có
$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow \sqrt{3}\geq x+y+z\geq -\sqrt{3}$
Đặt $t=x+y+z ( \sqrt{3}\geq t\geq -\sqrt{3})$
P trở thành $P=t.(1-\frac{t^2-1}{2})=t-\frac{t^3-t}{2}$
$f'(t) =\frac{6-6t^2}{4}$
$f'(t)=0$ suy ra $t=\pm 1$
Kẻ bảng biến thiên ta thấy f(t) max bằng $\frac{3}{2}$ khi t=0 từ đây tìm được x,y,z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-07-2012 - 21:11

[Crystal]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz$

Bài 21:

Từ ${\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right)$

${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)$ và điều kiện bài toán ta có:

$P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) = \left( {x + y + z} \right)\left[ {1 - \dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 1}}{2}} \right]$

Đặt: $t = x + y + z \Rightarrow - \sqrt 3 \le t \le \sqrt 3 $. Ta có: $P = t\left( {1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = - \dfrac{{{t^3}}}{2} + \dfrac{3}{2}t = f\left( t \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)$ với $[ - \sqrt 3 \le t \le \sqrt 3 $. Ta có: $f'\left( t \right) = \dfrac{3}{2}\left( { - {t^2} + 1} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$

$\Rightarrow \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 1;\,\,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]} f\left( t \right)\, = f\left( { - 1} \right) = - 1$

Vậy $\max P = 1$ đạt được khi $x = 1;y = 0;z = 0$ và các hoán vị
$\min P = - 1$ đạt được khi $x = -1;y = 0;z = 0$ và các hoán vị

XEM THÊM TẠI ĐÂY.

[Mai Duc Khai]

Nó cũng tương tự với bài toán này