452 replies to this topic

[henry0905]

Bài 103 (kỉ niệm topic được 300 posts): Cho tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tâm O của tam giác. H,G là trực tâm, trọng tâm tam giác. Chứng minh: $GH=\frac{2}{3}\sqrt{9R^{2}-(AB^{2}+BC^{2}+CA^{2})}$

Bài 24: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). C/m $AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}\leq 9R^{2}$

Bài 24 thực ra chỉ là điều kiện của bài 95 thôi
Mời mọi người giải bài 95 và cách khác cho bài 24.
P/s: Câu này ra thi chắc chết hết.

Edited by henry0905, 17-08-2012 - 18:12.

[BlackSelena]

Bài 104: Cho $\angle xOy$ và một điểm $M$ nằm trong góc đó. Một đường thẳng $d$ qua $M$ và cắt $Ox, Oy$ tại $A$ và $B$. CMR: tổng $\frac{1}{S_{OMA}} + \frac{1}{S_{OMB}}$ không đổi.
---------------------------
P/S: Một bài vừa tầm để khuấy động topic lên nào \m/

Edited by binhmetric, 24-08-2012 - 20:42.

[wronghole]

Một bài vừa tầm để khuấy động topic lên nào \m/
Bài 104: Cho $\angle xOy$ và một điểm $M$ nằm trong góc đó. Một đường thẳng $d$ qua $M$ và cắt $Ox, Oy$ tại $A$ và $B$. CMR: tổng $\frac{1}{S_{OMA}} + \frac{1}{S_{OMB}}$ không đổi.

Bài này trong cuốn NCPT của thầy VHB mak!!!!!!!
----------------------------------
@binhmetric: BT đến từ đâu đó không quan trọng bằng việc bạn tham gia vào hoạt động giải quyết nó.

Edited by binhmetric, 24-08-2012 - 20:36.

[letankhang]

Chưa ai làm ra bài 102 hả...???
---------------------------------
@binhmetric: Mọi người và bạn nữa sẽ rất vui nếu bạn tham gia giải quyết nó. Và 1 ai đó sẽ nói đáp lại bạn khi bạn đứng ngoài và nói vọng vào. Chắc bạn biết là ai rồi chứ. @_^

Edited by binhmetric, 24-08-2012 - 20:41.

[Nguyen Tho The Cuong]

Bài 105. Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Gọi E, F, D lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, BC, AC. Tim Min của P = ME + MF + MD.
---------------------------------
P/S: Ai lam giup em bai nay.

Edited by binhmetric, 24-08-2012 - 20:34.

[BlackSelena]

Đề nghị mọi người đã post bài lên đây vào cập nhật lời giải.
Bài 106: Cho tam giác $ABC$. $M$ là điểm nằm trong $\triangle ABC$. Gọi $D$ là giao điểm $AM$ và $BC$. $E$ là giao điểm $BM$ và $CA$, $CM$ giao $AB$ tại $F$. . Đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ cắt $DE,DF$ lần lượt tại $I,K$.
CMR: $MI=MK$.

[Tru09]

Đề nghị mọi người đã post bài lên đây vào cập nhật lời giải.
Bài 106: Cho tam giác $ABC$. $M$ là điểm nằm trong $\triangle ABC$. Gọi $D$ là giao điểm $AM$ và $BC$. $E$ là giao điểm $BM$ và $CA$, $CM$ giao $AB$ tại $F$. . Đường thẳng qua $M$ và song song với $BC$ cắt $DE,DF$ lần lượt tại $I,K$.
CMR: $MI=MK$.

Kẻ Từ $A$ kẻ $d$ // $BC \cap DF,DE =X,Y$
Ta cần phải chứng minh: $AX=AY$
Dễ Thấy
$\frac{AX}{BD}=\frac{AF}{BF}$
$\frac{CD}{AY}=\frac{CE}{AE}$
$\Rightarrow \frac{AX}{AY}.\frac{CD}{BD}=\frac{AF}{BF}.\frac{CE}{AE}$
$\Rightarrow \frac{AX}{AY}=\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1$
Từ XêVa $ \Rightarrow DPCM$

Attached Images

• 

Edited by Tru09, 30-08-2012 - 22:46.

[triethuynhmath]

Bài 107:Cho tam giác nhọn ABC (CB>CA) nội tiếp (O) có H là trực tâm.CH cắt AB tại F.Đường thẳng qua F vuông góc OF cắt AC tại P.
CMR:$\angle FHP=\angle CAB$

[BlackSelena]

Bài 106:
Giải như sau:
Gọi giao điểm của $IK$ và $AB,AC$ là $P,Q$
Ta có $\frac{PM}{BD} = \frac{PQ}{BC} = \frac{AP}{AB}$, $\frac{IM}{PM} = \frac{CD}{BC}$
$\Rightarrow \frac{IM}{PQ} = \frac{BD.CD}{BC^2}$
Chứng minh tương tự, ta cũng có $\frac{MK}{PQ} = \frac{BD.CD}{BC^2}$
Vậy $\frac{IM}{PQ} = \frac{MK}{PQ}$
$\Rightarrow MI = MK$ ($Q.E.D$).

Edited by BlackSelena, 30-08-2012 - 23:46.

[henry0905]

Bài 107:Cho tam giác nhọn ABC (CB>CA) nội tiếp (O) có H là trực tâm.CH cắt AB tại F.Đường thẳng qua F vuông góc OF cắt AC tại P.
CMR:$\angle FHP=\angle CAB$

Solution: (đổi style chút)
CH cắt (O) tại E, FP cắt EB tại G
$\Rightarrow GF=FP$ (đinh lí con bướm)
Mà EF=FH (BF là trung trực của EH)
$\Rightarrow \bigtriangleup EGF=\bigtriangleup HPF$
$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{E}=\widehat{FHP}$

Edited by henry0905, 31-08-2012 - 00:06.

[perfectstrong]

Bài 108:
Cho $\vartriangle ABC$ nội tiếp $(O)$. Dựng $X \in [BC];Y \in [AC];Z \in [AB]: \quad \vartriangle XYZ \sim \vartriangle ABC$.
Chứng minh rằng: $O$ là trực tâm của $\vartriangle XYZ$.

Edited by BlackSelena, 05-09-2012 - 22:59.

[chinhanh9]

Bài 109: Cho tam giác $ABC, I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $M$ là một điểm nằm ngoài tam giác. Gọi $A',B',C'$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $M$ qua các đường thẳng $AI,BI,CI$. Tìm điều kiện để $AA',BB',CC'$ đôi một song song.

[ohohye]

Các bạn giúp mình bài này nhé(vì mình học hơi yếu môn này^^):Cho hình vuông ABCD, điểm E tùy ý trên BC, tia Ax vuông góc với AE tại A, cắt CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt CD tại K. Cmr:
a)AE=AF
b)Tam giác AKF đồng dạng tam giác CAF và AF² = KF.CF
c)Cho AB=4cm ; BE=3
4.BC . Tính S_AEF.
d)AE kéo dài cắt CD tại J. Cm: 1 + 1
AE² AC²
không phụ thuộc vào vị trí điểm E.

[pcfamily]

Bài 110:
Cho tam giác ABC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. $d_{a},d_{b},d_{c}$ lần lượt là khoảng cách từ O đến BC, AC, AB.
a/ Chứng minh: $HA+HB+HC=2(d_{a}+d_{b}+d_{c})$
b/ Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh: $HA+HB+HC\geq 6r^{2}$
c/ Bất đẳng thức trong câu b/ còn đúng không khi góc A tù

Edited by pcfamily, 18-10-2012 - 20:01.

[BlackSelena]

Bài 110:
Cho tam giác ABC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. $d_{a},d_{b},d_{c}$ lần lượt là khoảng cách từ O đến BC, AC, AB.
a/ Chứng minh: $HA+HB+HC=2(d_{a}+d_{b}+d_{c})$
b/ Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh: $HA+HB+HC\geq 6r^{2}$
c/ Bất đẳng thức trong câu b/ còn đúng không khi góc A tù

a, Mình đã c/m ở đây ^^
b, Đề bài này sai gần giống cái ở đây
c, ...

[duongmath]

Bài 111 (lớp 7-8-9): Cho tam giác ABC. O là giao ba đường phân giác trong tam giác. Khoảng cách từ O đến các cạnh tam giác là 1 . Độ dài các đường cao tam giác là các số nguyên. Chứng minh với các điều kiện trên, tam giác ABC là tam giác đều.

Edited by duongmath, 20-10-2012 - 19:40.

[BlackSelena]

Bài 111 (lớp 7-8-9): Cho tam giác ABC. O là giao ba đường phân giác trong tam giác. Khoảng cách từ O đến các cạnh tam giác là 1 . Độ dài các đường cao tam giác là các số nguyên. Chứng minh với các điều kiện trên, tam giác ABC là tam giác đều.

Có 2 cách trong này ^^ http://diendantoanho...h-tam-giac-dều/

Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh $\triangle ABC$ lần lượt là $a,b,c$. Đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$ là $x,y,z$. Bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle ABC = r = 1$
Khi đó ta có
$S_{ABC}=\frac{1}{2}ax=\frac{1}{2}by=\frac{1}{2}cz=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
$\Rightarrow ax=by=cz=a+b+c$
Ta sẽ đi chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 1(*)$
Thật vậy, ta có:
$ax=by=cz \Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{x}}=\frac{b}{\frac{1}{y}}=\frac{c}{\frac{1}{z}}$
$= \frac{a+b+c}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=a+b+c$
$\Rightarrow (*)$
#WLOG: $0 \leq x \leq y \leq z$
$\Rightarrow \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y} \geq \frac{1}{z}$
$\Rightarrow \frac{3}{x} \leq 1$
$\Rightarrow x \leq 3$
Thử từng trường hợp:
*$x=1$.
$\Rightarrow \text{ Loại trực tiếp, miễn bàn}$
*$x=2$
$\Rightarrow \frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{1}{2}$
Mà $x,y \epsilon Z$
$\Rightarrow y,z\epsilon \begin{Bmatrix} (4,4);(3;6) \end{Bmatrix}$
$y=z=4 \Rightarrow 2a=4b=4c \text{ Áp dụng bđt tam giác vô tam giác ABH thấy ko thỏa mãn} \Rightarrow \text{loại}$
$y=3;z=4 \Rightarrow 2a=3b=4c (loại)$
*$x=3$
$\Rightarrow x=y=z=3$
$\Rightarrow a=b=c \Rightarrow \triangle ABC:đều$
$\Rightarrow đpcm.$

__

Bài 1:
\[\begin{array}{l}
r = 1 = \frac{S}{p} \Rightarrow S = p \\
{h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2p}}{a} = \frac{{a + b + c}}{a} = 1 + \frac{{b + c}}{a} \Rightarrow \frac{{b + c}}{a} = x \in {N^*} \\
\end{array}\]
Do $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $b+c>a \Rightarrow x>1 \Rightarrow x \geq 2 \Rightarrow b+c \geq 2a$
Tương tự, ta có: $a+c \geq 2b;a+b \geq 2c$. Cộng các bđt này lại, ta thu được:
\[ 2(a+b+c) \geq 2(a+b+c) \]
Đẳng thức xảy ra nên $b+c=2a;c+a=2b;a+b=2c \Rightarrow a=b=c \Rightarrow Q.E.D$

Edited by BlackSelena, 20-10-2012 - 19:56.

[BlackSelena]

Bài 112: Giả sử $M, N$ là các điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{MAB} = \widehat{NAC}$ và $\widehat{MBA} = \widehat{NBC}$.
Chứng minh rằng : $\frac{AM.AN}{AB.AC} + \frac{BM.BN}{BA.BC} + \frac{CM.CN}{CA.CB} = 1$
_______
Chú ý ghi số bài

Ý tưởng dựng hình là từ cách chứng minh định lý $Ptolemy$, và thật kì diệu trong bài làm ta cũng sử dụng tới $Ptolemy$ để chứng minh ^^:

Lấy $K \in BN$ sao cho $\angle BCK = \angle BMA$, vậy ta có $\triangle BMA \sim \triangle BCK$
$\Rightarrow \frac{AB}{MB} = \frac{BK}{BC}$
Mặt khác dễ thấy $\angle ABK = \angle MBC$
$\Rightarrow \frac{AB}{BM} = \frac{AK}{CM} =\frac{BK}{BC}$
Và $\angle CKN = \angle NAC = \angle BAM$
$\Rightarrow ANCK: tgnt$
Và theo $Ptolemy$ cho $ANCK$: $AC.NK = AN.CK + CN.AK$
Mặt khác, $CK = \frac{AM.BC}{BM}, AK = \frac{AB.CM}{BM}, BK = \frac{AB.BC}{BM}$
Nên ta có
$$AC(BK-BN) = AN.CK + CN.AK$$
$$\Leftrightarrow AC(\frac{AB.BC}{BM} - BN) = \frac{AN.AM.BC}{BM} + \frac{CN.AB.CM}{BM}$$
$$\Leftrightarrow AB.BC.CA = AN.AM.BC + CN.AB.CM + BN.BM.AC$$
$$\Leftrightarrow \frac{AM.AN}{AB.AC} + \frac{BM.BN}{BA.BC} + \frac{CM.CN}{CA.CB} = 1$$

Edited by BlackSelena, 24-10-2012 - 22:49.

[minhgianggv]

Mình xin góp một bài đây: Bài 113: Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, O, I thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. R và r_A là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bàng tiếp góc A. Chứng minh rằng H, O, I thẳng hàng khi và chỉ khi r_A = R

[caybutbixanh]

Bài 114 : Cho tam giác $ABC$ có $AB$ $<$ $AC$, đường cao $AH$ và đường phân phân giác $AD$. Hãy tính $\widehat{DAH}$ theo $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$.

Kết quả :${\left | \frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2} \right |}$
Gửi bài toán theo đúng tuổi nhé . Bài này là của lớp 7 đó . chứng minh thì anh quên mất rồi