Chủ đề này có 1 trả lời

[khanh3570883]

$ \begin{cases}2-\sqrt{{x}^{2}{y}^{4}+2x{y}^{2}-{y}^{4}+1}= 2( 3-\sqrt{2}-x){y}^{2}\\ \sqrt{x-{y}^{2}}+x = 3\end{cases} $


From:mathlinks.ro

P/s: Ai sửa tiêu đề chỉ dùm em cái dấu hệ đánh kiểu gì, lúc nào cũng thấy nó báo tiêu đề dài!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

$ \begin{cases}2-\sqrt{{x}^{2}{y}^{4}+2x{y}^{2}-{y}^{4}+1}= 2( 3-\sqrt{2}-x){y}^{2}\\ \sqrt{x-{y}^{2}}+x = 3 \,\, (2)\end{cases} $

Giải

ĐK: $\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}{y}^{4}+2x{y}^{2}-{y}^{4}+1 \geq 0\\x \geq y^2 \geq 0\end{array}\right.$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$2-\sqrt{(xy^2 + 1)^2 - y^4}= 2( 3-\sqrt{2}){y}^{2} - 2xy^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(xy^2 + 1 - y^2)(xy^2 + 1 + y^2)} = 2(1 + xy^2) - 2(3 - \sqrt{2})y^2 \,\, (3)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{xy^2 - y^2 + 1} \geq 0\\b = \sqrt{xy^2 + y^2 + 1} \geq 1\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}xy^2 + 1 = \dfrac{a^2 + b^2}{2}\\y^2 = \dfrac{b^2 - a^2}{2}\end{array}\right.$

Phương trình (3) trở thành:
$ab = 2.\dfrac{a^2 + b^2}{2} - 2(3 - \sqrt{2})\dfrac{b^2 - a^2}{2}$

$\Leftrightarrow ab = a^2 + b^2 + (3 - \sqrt{2})(a^2 - b^2)$

$\Leftrightarrow (4 - \sqrt{2})a^2 - ab - (2 - \sqrt{2})b^2 = 0 $

$\Leftrightarrow (4 - \sqrt{2})(\dfrac{a}{b})^2 - \dfrac{a}{b} - 2 + \sqrt{2} = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{a}{b} = \dfrac{-\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}\end{array}\right.$

Do $a \geq 0, b \geq 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{xy^2 - y^2 + 1}{xy^2 + y^2 + 1} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow xy^2 - 3y^2 + 1 = 0 \,\, (4)$

Dễ thấy $x \neq 3$ (vì x = 3 thì (4) tương đương với 0 = 1. Vô lý)

Từ (4), suy ra: $y^2 = \dfrac{-1}{x - 3}$

Thế vào (2), ta được:
$\sqrt{x+ \dfrac{1}{x - 3}}= 3 - x$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 3\\x^3 - 10x^2 + 30x - 28 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 3\\(x - 2)(x^2 - 8x + 14) = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} x = 2\\x = 4 \pm \sqrt{2}\end{array}\right.\\x \leq 3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\x = 4 - \sqrt{2}\end{array}\right.$

- Với x = 2, suy ra $y = \pm -1$

- Với $x = 4 - \sqrt{2} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\sqrt{2} + 1}$