Chủ đề này có 3 trả lời

[ElenaIP97]

Cho hcn ABCD, điểm M bất kì trên CD. Các đường tròn đường kính AM và CD cắt nhau tại N (N khác D). DN cắt BC tại P. Cmr: MP vuông góc với AC.

[triethuynhmath]

Từ M vẽ MT vuông góc AC tại I(T thuộc BC).Ta sẽ chứng minh T trùng P = cách chứng minh D,N,T thẳng hàng
Ta có:
$\angle ADM=90^0$ nên D thuộc đường tròn đường kính AM
$\angle AIM=90^0$ nên I thuộc đường tròn đường kính AM=> $\angle CMI=\angle DNI$(góc ngoài = góc đối trong do ANIM nội tiếp)
Mặt khác,tam giác MCT vuông tại C=> $\angle TMC + \angle MTC$=$90^0$
Mặt khác: $\angle DNC=90^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=>$\angle DNI+\angle INC=90^0$=>$\angle INC=\angle MTC$
=>NTCI nội tiếp=> $\angle CNT=\angle TIC=90^0$(MT vuông góc AC tại I)
=> D,N,T thẳng hàng
P/s:Hix không biết làm vậy đúng không nữa @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 08-07-2012 - 00:19

[ElenaIP97]

Từ M vẽ MT vuông góc AC tại I(T thuộc BC).Ta sẽ chứng minh T trùng P = cách chứng minh D,N,T thẳng hàng
Ta có:
$\angle ADM=90^0$ nên D thuộc đường tròn đường kính AM
$\angle AIM=90^0$ nên I thuộc đường tròn đường kính AM=> $\angle CMI=\angle DNI$(góc ngoài = góc đối trong do ANIM nội tiếp)
Mặt khác,tam giác MCT vuông tại C=> $\angle TMC + \angle MTC$=$90^0$
Mặt khác: $\angle DNC=90^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=>$\angle DNI+\angle INC=90^0$=>$\angle INC=\angle MTC$
=>NTCI nội tiếp=> $\angle CNT=\angle TIC=90^0$(MT vuông góc AC tại I)
=> D,N,T thẳng hàng
P/s:Hix không biết làm vậy đúng không nữa @@

cách của mình cũng gần tương tự:
Gọi MP $\cap$ đường tròn đường kính AM tại E
Ta chứng minh A,E,C thẳng hàng.
Tứ giác DNEM nội tiếp=> PN.PD=PE.PM
Tam giác DCP vuông tại C, đường cao CN => $PN.PD=PC^{2}$
=> $PE.PM=PC^{2}$
Mà tam giác PMC vuông tại C=> CE$\perp $PM
Mặt khác: AE$\perp $PM
=> AE $\equiv $CE
=> A,E,C thằng hàng
=> đpcm

[pidollittle]

Goị giao điểm của MP với đường tròn đk AM là E
Ta cần chm A, E, C thẳng hàng.
Có $\widehat{ADN}=\widehat{AEN}$ mà $\widehat{ADN}=\widehat{DPC}$
$\Rightarrow \widehat{AEN}=\widehat{DPC}$
nên tứ giác NEPC nội tiếp $\Rightarrow$ $\widehat{CEP}=\widehat{CNP}=90^{o}$
$\Rightarrow$ đpcm