Chủ đề này có 327 trả lời

[banhgaongonngon]

Tiếp tục nào

 

Bài 2. Giải phương trình 

 

$$\left ( x+2 \right )\left ( \sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1} \right )=2x^2+6x+7$$

Đề chọn đội dự tuyển QG KonTum 2013

 

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} x+2\geq 0\\ -2x-1\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -2\leq x\leq -\frac{1}{2}$

Do $\sqrt{2x^{2}+4x+6}-\sqrt{-2x-1}> 0,\forall x\in \left [ -2;-\frac{1}{2} \right ]$ nên

$\mathrm{PT}\Leftrightarrow (x+2)\left ( 2x^{2}+6x+7 \right )=\left ( 2x^{2}+6x+7 \right )\left ( \sqrt{2x^{2}+4x+6}-\sqrt{-2x-1} \right )$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}+4x+6}-\sqrt{-2x-1}=x+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2(x+2)^{2}+2(-2x-1)}=(x+2)+\sqrt{-2x-1}$       $(*)$

Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì $\sqrt{2(x+2)^{2}+2(-2x-1)}\geq (x+2)+\sqrt{-2x-1}$

Dấu "=" xảy ra $\iff -2x-1=(x+2)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+6x+5=0 \Leftrightarrow x=-1$

Do đó $(*)\Leftrightarrow x=-1$

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\boxed {x=-1}$

[T M]

Tiếp tục bằng 2 bài phương trình vô tỉ nữa nhé.

 

Bài 3. Giải phương trình

 

$$\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$$

 

Chọn đội tuyển QG Trà Vinh 2013

 

Bài 4. Giải phương trình 

 

$$4x^3-7x+\sqrt[3]{4x^3-3x+1}=\sqrt[3]{4x-2}-3$$

 

Chọn đội tuyển quốc gia Quảng Ngãi 2013

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 17-06-2013 - 12:03

[Mai Duc Khai]

Tiếp tục bằng 2 bài phương trình vô tỉ nữa nhé.

 

Bài 3. Giải phương trình

 

$$\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$$

 

Chọn đội tuyển QG Trà Vinh 2013

 

Bài 4. Giải phương trình 

 

$$4x^3-7x+\sqrt[3]{4x^3-3x+1}=\sqrt[3]{4x-2}-3$$

 

Chọn đội tuyển quốc gia Quảng Ngãi 2013

Bài 3:

\[\begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  - 2\sqrt {{x^2} - x + 1}  = 9x - 3\left( * \right)\\
 \Rightarrow DKXD:...\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  - \sqrt {4{x^2} - 4x + 4}  = 9x - 3\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  = a \ge 0\\
\sqrt {4{x^2} - 4x + 4}  = b \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 9x - 3\\
 \Rightarrow a - b = {a^2} - {b^2} \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  = \sqrt {4{x^2} - 4x + 4} \\
\sqrt {4{x^2} + 5x + 1}  = 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x + 4}
\end{array} \right. \Rightarrow ....
\end{array}\]

Bài 4:

\[\begin{array}{l}
4{x^3} - 7x + \sqrt[3]{{4{x^3} - 3x + 1}} = \sqrt[3]{{4x - 2}} - 3\\
 \Leftrightarrow 4{x^3} - 3x + 1 + \sqrt[3]{{4{x^3} - 3x + 1}} = 4x - 2 + \sqrt[3]{{4x - 2}}
\end{array}\]

Xét hàm : $f\left( t \right) = {t^3} + t$ là hàm ...

\[ \Rightarrow 4{x^3} - 3x + 1 = 4x - 2 \Leftrightarrow 4{x^3} - 7x + 3 = 0 \Rightarrow ..\]

 

 

P/s: Không có máy tính nên ngại tính ra nghiệm....

[ngocduy286]

điều kiện: $ 4x^2+5x+1 \geq 0$

pt tương đương với

$9x-3=(9x-3)( \sqrt{4x^2+5x+1}+ 2 \sqrt{x^2-x+1})$

$(9x-3)(\sqrt{4x^2+5x+1}+ 2 \sqrt{x^2-x+1}-1)=0$

vì

$ 2 \sqrt{x^2-x+1}=2 \sqrt{(x- \frac{1}{2})^2+ \frac{3}{4}} \geq \sqrt3 >1 $

nên pt tương đương với

$ 9x-3=0 \Leftrightarrow  x= \frac{1}{3} $

  (thoả mãn đk)

 

[T M]

điều kiện: $ 4x^2+5x+1 \geq 0$

pt tương đương với

$9x-3=(9x-3)( \sqrt{4x^2+5x+1}+ 2 \sqrt{x^2-x+1})$

$(9x-3)(\sqrt{4x^2+5x+1}+ 2 \sqrt{x^2-x+1}-1)=0$

vì

$ 2 \sqrt{x^2-x+1}=2 \sqrt{(x- \frac{1}{2})^2+ \frac{3}{4}} \geq \sqrt3 >1 $

nên pt tương đương với

$ 9x-3=0 \Leftrightarrow  x= \frac{1}{3} $

  (thoả mãn đk)

 

Lời giải của bạn đúng rồi. Cảm ơn bạn đã tham gia giải bài, nhưng bạn chú ý hộ mình 2 điều sau

 

+/ Viết hoa đầu dòng.

+/ Quote đề bài.

 

Chúc bạn vui

[T M]

...........

Không nhất thiết phải tính ra kết quả cuối đâu. Đến đấy là được rồi. 

 

Bài 4 còn một cách nhân liên hợp nữa, cũng rất nhẹ nhàng

 

Nhận xét: 2 bài toán trên tuy là đề thi chọn đội tuyển QG nhưng hơi nhẹ thì phải Cả 2 bài đều giải được bằng nhân liên hợp thông thường.

 

Mai Duc Khai: Tiếp tục cho thêm đề bài đi ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 17-06-2013 - 12:32

[T M]

Tiếp tục bằng một hệ hoán vị 3 ẩn.

 

Bài 5. Giải hệ phương trình 

 

\begin{cases} x^2+3x+2=\frac{8}{y}-\sqrt{5y-1} \\ y^2+3y+2=\frac{8}{z}-\sqrt{5z-1} \\ z^2+3z+2=\frac{8}{x}-\sqrt{5x-1}\end{cases} 

Đề thi HSG 12 Vĩnh Phúc 2013 - Hệ Chuyên

 

Bài 6. Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} \\ \sqrt{2y^2+1}+y=4+\sqrt{x+4} \end{cases}$$

Đề thi HSG 12 Vĩnh Phúc 2013 - Hệ Không Chuyên

 

Mai Duc Khai: Em sửa hộ a post của bạn ngocduy286 nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 17-06-2013 - 13:59

[phuongnamz10A2]

 

Bài 6. Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x} \\ \sqrt{2y^2+1}+y=4+\sqrt{x+4} \end{cases}$$

Đề thi HSG 12 Vĩnh Phúc 2013 - Hệ Không Chuyên

 

Mai Duc Khai: Em sửa hộ a post của bạn ngocduy286 nhé

 

Điều kiện: $-4 \le x \le 1;$

$\Leftrightarrow y(2y^2+1)=(3-2x)\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow y(2y^2+1)=\sqrt{1-x}(2(1-x)+1)$

Xét hàm số $f(t)=t(2t^2+1)$

Có $f'(t)=6t^2+1 > 0$

Hàm số ĐB nên $y=\sqrt{1-x}$

Thay vào (2) ta có:

$\sqrt{3-2x}+\sqrt{1-x}=4+\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+4}-1) + (3-\sqrt{3-2x}) + (2-\sqrt{1-x})=0$

$\Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{x+4}+1} + \frac{2(x+3)}{\sqrt{3-2x}+3} + \frac{x+3}{\sqrt{4-x}+2}=0$

Dễ thấy PT có nghiệm duy nhất $x=-3$

Hệ có nghiệm $(x,y)=(-3,2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuongnamz10A2: 17-06-2013 - 14:49

[BoFaKe]

Bài 5. Giải hệ phương trình 

 

\begin{cases} x^2+3x+2=\frac{8}{y}-\sqrt{5y-1} \\ y^2+3y+2=\frac{8}{z}-\sqrt{5z-1} \\ z^2+3z+2=\frac{8}{x}-\sqrt{5x-1}\end{cases} 

Đề thi HSG 12 Vĩnh Phúc 2013 - Hệ Chuyên

 

Điều kiện :$x;y;z\geq \frac{1}{5}$

Với điều kiện này thì ta luôn có :

$f(a)=a^{2}+3a+2$ đồng biến,$g(a)=\frac{8}{a}-\sqrt{5a-1}$ nghịch biến.

 

Không mất tính tổng quát ta xét 2TH:

 

TH 1 :$x\geq y\geq z$

Ta có: $$f(x)\geq f(y)\Rightarrow g(y)\geq g(z)\Rightarrow z\geq y$$

Kết hợp điều giả sử ta có $y=z$,thay vào phương trình $(2)$ của hệ.

Xét $h(y)=y^{2}+3y+2-\frac{8}{y}+\sqrt{5y-1}$ là hàm đồng biến,dễ thấy $y=1$ là nghiệm của phương trình nên $y=z=1$.

Thay $y=1$ vào phương trình đầu giải được $x=1$ thoã mãn.

Vậy $(x;y;z)=(1;1;1)$.

 

TH 2: $x\geq z\geq y$

Lúc này chỉ xét tương tự nhưng với $f(z)\geq f(y)$ cho ta $z\geq x$ nên.....

Kết luận: $(x;y;z)=(1;1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 17-06-2013 - 15:47

[T M]

1 bài phương trình vô tỉ, không nhầm thì đã post rồi, nhưng thôi, post lại cho nó dễ tìm.

 

Bài 7. Giải phương trình

 

$$\left ( 26-x \right )\sqrt{5x-1}-\left ( 13x+14 \right )\sqrt{5-2x}+12\sqrt{5x-1}\sqrt{5-2x}=18x+32$$

 

Đề kiểm tra đội tuyển QG - LTV Đồng Nai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 17-06-2013 - 16:01

[phuongnamz10A2]

1 bài phương trình vô tỉ, không nhầm thì đã post rồi, nhưng thôi, post lại cho nó dễ tìm.

 

Bài 7. Giải phương trình

 

$$\left ( 26-x \right )\sqrt{5x-1}-\left ( 13x+14 \right )\sqrt{5-2x}+12\sqrt{5x-1}\sqrt{5-2x}=18x+32$$

 

Đề kiểm tra đội tuyển QG - LTV Đồng Nai

 $(\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-2x}-2)^3 =0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuongnamz10A2: 17-06-2013 - 20:31

[phuongnamz10A2]

Nếu dùng máy tính thì làm như thế nào anh?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuongnamz10A2: 17-06-2013 - 22:31

[phuongnamz10A2]

1 bài phương trình vô tỉ, không nhầm thì đã post rồi, nhưng thôi, post lại cho nó dễ tìm.

 

Bài 7. Giải phương trình

 

$$\left ( 26-x \right )\sqrt{5x-1}-\left ( 13x+14 \right )\sqrt{5-2x}+12\sqrt{5x-1}\sqrt{5-2x}=18x+32$$

 

Đề kiểm tra đội tuyển QG - LTV Đồng Nai

$\Leftrightarrow \sqrt{5x-1}(5x-1+3(5-2x)+12)-\sqrt{5-2x}(5-2x+3(5x-1)+12)+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}-18x-32=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{5x-1}(5x-1)-\sqrt{5-2x}(5-2x)-3\sqrt{5-2x}(5x-1)+3\sqrt{5x-1}(5-2x)-6(3x+4-2\sqrt{(5x-1)(5-2x)})+12(\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-2x})-8=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-2x})^3-6(\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-2x})^2+12(\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-2x})-8=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-2x}-2)^3=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{5x-1}-\sqrt{5-2x} = 2$

ĐK $x \ge \frac{6}{7};$

$\Leftrightarrow 3x+4-2\sqrt{(5x-1)(5-2x)} = 4$

$\Leftrightarrow 3x = 2\sqrt{(5x-1)(5-2x)}$

$\Leftrightarrow 49x^2-108x+20=0$

$\Leftrightarrow x=2$ (thoả mãn) hoặc $x=\frac{10}{49}$ (loại)

KL...

[T M]

Bài 7 còn một hướng đi khác, cũng khá hay. Các bạn cùng suy nghĩ thêm về bài toán này nhé

[T M]

Bài 8. Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases}x^2y^3+3x^2-4x+2=0 \\ x^2y^2-2x+y^2=0\end{cases}$$

 

Đề kiểm tra đội tuyển QG - Nam Định - 2013

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 18-06-2013 - 13:33

[BoFaKe]

 

Bài 8. Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases}x^2y^3+3x^2-4x+2=0 \\ x^2y^2-2x+y^2=0\end{cases}$$

 

Đề kiểm tra đội tuyển QG - Nam Định - 2013

 

Bỏ qua các yếu tố ''ngoại cảnh''  ,ta có thể viết lại hệ thành :

 

$$\left\{\begin{matrix} y^{3}=\frac{-3x^{2}+4x-2}{x^{2}} & & \\ y^{2}= \frac{2x}{x^{2}+1} & & \end{matrix}\right.$$

 

Từ phương trình $(2)$ ta có $-1\leq y\leq 1$.Kết hợp $(1)$ nữa thì ta có 

$$\frac{-3x^{2}+4x-2}{x^{2}}\geq -1\Rightarrow 2(x-1)^{2}\leq 0\Rightarrow x=1$$.

Thay lại giải được $y=-1$ thõa mãn.

Vậy $(x;y)=(1;-1)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 18-06-2013 - 20:48

[phuongnamz10A2]

Bài 9:

Giải Hệ PT:

$x^2(y-z)=\frac{-5}{3}$

$y^2(z-x)=3$

$z^2(x-y)=\frac{1}{3}$ 

  Đây không phải là 1 đề HSG mà là 1 bài trong sách của mình. Tuy không phù hợp topic nhưng mình thấy bài này rất hay.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuongnamz10A2: 19-06-2013 - 18:26

[cobehoahong1996]

 Bài 1                                                                                                                                                                     $ X^{^{3}}+6x^{2}-171x-40(x+1)\sqrt{5x-1}+20= 0                                                                                               Bài 2                                                                                                                                               X^{3}+3x^{2}+x+4=13\sqrt[3]{3x+2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cobehoahong1996: 20-06-2013 - 06:36

[T M]

Bài 10. Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases}x^3+x-2=y^3+3y^2+4y \\ (x-3)^4+(y-4)^4=82 \end{cases}$$

 

Đề thi HSG Gia Lai - 2013 - Bảng A

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 20-06-2013 - 23:01

[cobetinhnghic96]

 

Bài 10. Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases}x^3+x-2=y^3+3y^2+4y \\ (x-3)^4+(y-4)^4=82 \end{cases}$$

 

Đề thi HSG Gia Lai - 2013 - Bảng A

 

$\left ( x-1 \right )\left \lfloor \left ( x-1 \right )^{2}+3\left ( x-1 \right ) +4\right \rfloor=y\left ( y^{2}+3y+4 \right )$

$\left ( x-1 \right )^{2}+3\left ( x-1 \right )+4> 0$

$y^{2}+3y+4> 0$$y^{2}+3y+4> 0$

$> \left ( x-1 \right )y\geq 0$

Nếu    $y\leq 0$ thì pt $\left ( 2 \right )$ có VT $\geq 4^{4 }> 82$

$> y\geq 0,x-1\geq 0$

 

$\left ( x-1 \right )\left \lfloor \left ( x-1 \right )^{2} +y\left ( x-1 \right )+y^{2}+3\left ( x+y-1 \right )+4\right \rfloor=0$

Do $\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}+y\left ( x-1 \right )+3\left ( x-1+y \right )+4> 0$

$x=y+1$

$> \left ( y-2\right )^{4}+\left ( y-4 \right )^{4}=82$

Đặt$y-3=t$: giải ra $t^{2}=-10$       loại

$t^{2}=4$     thỏa mãn                                                                                        

KL:$\left ( x,y \right )= \left ( 2,1 \right )= \left ( 6,5 \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cobetinhnghic96: 21-06-2013 - 20:52