Chủ đề này có 5 trả lời

[beontop97]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng :
$\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\geqslant 3\left ( a+b+c \right )^{2}$

[minh29995]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng :
$\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\geqslant 3\left ( a+b+c \right )^{2}$

Khai triển và rút gọn ta có BĐT đã cho trở thành:
$a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+4\sum a^2+8\geq 3\sum a^2+6\sum ab$
$\Leftrightarrow a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2+\sum a^2+8\geq 6\sum ab$
Áp dụng AM-GM ta có:
$a^2b^2c^2+1\geq 2abc$
$a^2b^2+1\geq 2ab$
$b^2c^2+1\geq 2bc$
$c^2a^2+1\geq 2ac$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2ab+2bc+2ca$
Theo nguyên lí Đi dép lê thì trong 3 số a-1, b-1, c-1 tồn tại 2 số có tích không âm.
Giả sử là a-1 và b-1 ta có:
$c(a-1)(b-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow abc+c\geq ac+bc$
$\Leftrightarrow 2abc+2c+2ab\geq 2ab+2bc+2ca$
Mà theo AM-GM thì:
$c^2+1\geq 2c$
$a^2+b^2\geq 2ab$
Do đó ta có ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

[Nguyenhuyen_AG]

Mình có tìm được một số kết quả tổng quát của bài toán trên http://www.artofprob...p?f=52&t=453747

[nthoangcute]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng :
$\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\geqslant 3\left ( a+b+c \right )^{2}$

Thêm một vài cách dùng S.O.S:
Cách 1:
$$\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\geqslant 3\left ( a+b+c \right )^{2}$$
$$\Leftrightarrow (b^2c^2+2b^2+2c^2+1)((a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow (b^2c^2a+2ab^2+2c^2a+a-3b-3c)^2+(c^2+2)(b^2+2)(2(bc-1)^2+(b-c)^2) \geq 0$$
Luôn đúng nên ta có đpcm !

Cách 2:
$$\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\geqslant 3\left ( a+b+c \right )^{2}$$
$$\Leftrightarrow 9(\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right ) - 3\left ( a+b+c \right )^{2}) \geq 0$$
$$5(ab-bc)^2+5(bc-ca)^2+5(ca-ab)^2+(3abc-a-b-c)^2+8(ab+bc+ca-3)^2+4(a-b)^2+4(b-c)^2+4(c-a)^2 \geq 0$$
Luôn đúng nên ta có đpcm !

[viet 1846]

Ta có:

\[\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {1 + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

Nên ta cần chứng minh:

\[\left( {{b^2} + 2} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge 3\left( {1 + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} + 2{b^2}{c^2} - 6bc + 2 \ge 0\]

Theo $AM-GM$ ta có:

\[{b^2} + {c^2} \ge 2bc\]

nên ta cần chứng minh:

\[2{b^2}{c^2} - 4bc + 2 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{\left( {bc - 1} \right)^2} \ge 0\]

Ta có ĐPCM

[KietLW9]

Lời giải.

Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$

Thật vậy, áp dụng bổ đề quen thuộc $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geqslant 2(ab+bc+ca)$, ta được: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)-3(a+b+c)^{2}-(abc-1)^2=(a^2+b^2+c^2+2abc+1)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(ab+bc+ca)+6\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4(ab+bc+ca)+6=2\left [ (ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2 \right ]\geqslant 0$

Vậy ta có: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$ và bất đẳng thức cần chứng minh được giải quyết

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$