Chủ đề này có 7 trả lời

[pqqsang]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c$\geq$3 . tìm gtnn của biểu thức:
S=$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

[triethuynhmath]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c$\geq$3 . tìm gtnn của biểu thức:
S=$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

Chém bài này nhé (Theo cách THCS)
$S=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}=>S^2=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2(a\sqrt{\frac{b}{c}}+b\sqrt{\frac{c}{a}}+c\sqrt{\frac{a}{b}})$
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số >0,ta có :
$\frac{a^2}{b}+c\geq 2a\sqrt{\frac{c}{b}},\frac{b^2}{c}+a\geq 2b\sqrt{\frac{a}{c}},\frac{c^2}{a}+b\geq 2c\sqrt{\frac{b}{a}}$
$=>S^2+a+b+c\geq 2a(\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}})+2b(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}})+2c(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})$
$\geq 4(a+b+c)$(Cauchy)
$=>S^2\geq 3(a+b+c)\geq 9=> S\geq 3$
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 17-07-2012 - 10:57

[tkvn97]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c$\geq$3 . tìm gtnn của biểu thức:
S=$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

Chém bài này luôn
Ta có $\sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq 2.\sum \frac{a}{b+1}=2.(\sum \frac{a+1}{b+1}-\sum \frac{1}{a+1})\geqslant 2.(3-\frac{3}{2})=3$
Dấu bắng xảy ra khi a = b = c =2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 17-07-2012 - 11:48

[triethuynhmath]

Chém bài này luôn
Ta có $\sum \frac{a}{\sqrt{b}}\geq 2.\sum \frac{a}{b+1}=2.(\sum \frac{a+1}{b+1}-\sum \frac{1}{a+1})\geqslant 2.(3-\frac{3}{2})=3$
Dấu bắng xảy ra khi a = b = c =2
[font='times new roman', ', times, serif} ']P/S : Cách 2 nhé bạn Triethuynhmath [/font]

Mình không hiểu lắm đoạn này,giải kĩ ra được không bạn?

[tkvn97]

Mình không hiểu lắm đoạn này,giải kĩ ra được không bạn?

Như sau đay bạn
$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}=(\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1})-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$
Ấp dụng cô si cho cái đầu . Cái sau áp dụng băt đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engle là OK thôi bạn

[triethuynhmath]

Như sau đay bạn
$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}=(\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1})-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$
Ấp dụng cô si cho cái đầu . Cái sau áp dụng băt đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engle là OK thôi bạn

Bạn bị ngược dấu rồi Cauchy-Schwarz dạng Engel là $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}$.$a+b+c\geq 3$ thì lúc nghịch đảo lại là $\frac{9}{a+b+c+3}\leq \frac{9}{6}$.Lúc này Là $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}\leq \frac{3}{2}$Đến đây sao làm tiếp được bạn.Thậm chí có làm tiếp được, nghĩa là có $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{3}{2}$ thì khi đặt dấu - hai vế thì cũng dẫn đến dấu $\leq$.Không thể + vế theo vế được

[tkvn97]

Bạn bị ngược dấu rồi Cauchy-Schwarz dạng Engel là $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}$.$a+b+c\geq 3$ thì lúc nghịch đảo lại là $\frac{9}{a+b+c+3}\leq \frac{9}{6}$.Lúc này Là $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+b+c+3}\leq \frac{3}{2}$Đến đây sao làm tiếp được bạn.Thậm chí có làm tiếp được, nghĩa là có $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{3}{2}$ thì khi đặt dấu - hai vế thì cũng dẫn đến dấu $\leq$.Không thể + vế theo vế được

Chính xác rồi để mình xem lại nhé

[Secrets In Inequalities VP]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c$\geq$3 . tìm gtnn của biểu thức:
S=$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$

Làm thu phát :
$VT= \frac{a^2}{a\sqrt{b}}+\frac{b^2}{b\sqrt{c}}+\frac{c^2}{c\sqrt{a}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}$
Ta sẽ CM : $(a+b+c)^2\geq 3(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})$
Đúng vì :
$3(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})=3(\sqrt{a}.\sqrt{ab}+\sqrt{b}.\sqrt{bc}+\sqrt{c}.\sqrt{ca})\leq 3\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$= \sqrt{3(a+b+c)}.\sqrt{3(ab+bc+ca)}\leq \sqrt{(a+b+c)(a+b+c)}.\sqrt{(a+b+c)^2}$
$= (a+b+c)^2$
Đ.P.C.M.
Vậy ...