Chủ đề này có 2 trả lời

[bastian schweinsteiger]

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có 2 phân giác trong BE và CF. Tia EF cắt (O) tại M, tia FE cắt (O) tại N. chứng minh rằng
$\frac{1}{BM}+\frac{1}{CN}\geq \frac{4}{AM+AN}+\frac{4}{BN+CM}$

[mbrandm]

bài này các bạn sử dụng định lý P tô lê mê

[mbrandm]

Đặ BC=a; AC=b và AB=c.
Theo Ptoleme ta có
a.AM+b.BM=c.CM
a.AN+c.CN=b.BN
Suy ra a(AM+AN)=b(BN-BM)+c(CM-CN) (*).
dễ thấy $\Delta$ AFM đồng dạng $\Delta$ NFB.
suy ra $\frac{AM}{BN}$= $\frac{MF}{BF}$.(1)
$\Delta$ AFN đồng dạng $\Delta$ MFB
Suy ra $\frac{AN}{BM}$= $\frac{AF}{MF}$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra$\frac{AN.AM}{BM.BN}$= $\frac{AF}{BF}$.
Lại có AF:BF=CA:BC=b:a(**)
Tương tự ta có $\frac{AN.AM}{CM.CN}$= $\frac{c}{a}$.(***)
Thay (**) và (***) vào (*) ta được:
AM+AN=$\frac{AM.AN}{BM.BN}$.$\left ( BN-BM \right )$+$\frac{AM.AN}{CM.CN}$.$\left ( CM-CN \right )$
tương đương với : $\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}= \frac{1}{BM}-\frac{1}{BN}+\frac{1}{CN}-\frac{1}{CM}$.
suy ra: $\frac{1}{BM}+\frac{1}{CN}= \frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CM}\geq \frac{4}{AM+AN}+\frac{4}{BN+CM}$
đpcm
xong rồi