Chủ đề này có 8 trả lời

[vinhspiderman]

Trong giải tích số, trong phương pháp xấp xỉ hàm bằng nội suy Lagrange, để giảm sai số, người ta quan tâm đến Max trong [0,1] của những đa thức bậc n có hệ số bậc cao nhất bằng 1. Bài toán người ta quan tâm là đa thức nào có giá trị Max đó đạt min.
Vào thời "lâu lắm" rồi, Chebyshev đã giải quyết được bài toán này bằng cách chỉ ra đa thức Chebyshev chia cho 2^n là đa thức có Max nhỏ nhất trong [0,1]. Câu hỏi là liệu đa thức này có duy nhất hay không?
Thật ra người ta cũng đã trả lời được câu hỏi này, có lẽ cũng vào thời "lâu lắm rồi" và câu trả lời là đa thức đó là duy nhất. Mình muốn bàn luận một tí về cách chứng minh sự duy nhất của đa thức này, vì cái này mình thấy các tài liệu tham khảo không ghi (hoặc là mình chưa có tài liệu tham khảo tốt!). Hiện tại mình đã nghĩ ra một cách chứng minh tương đối đơn giản mà thú vị. Hy vọng các bác nào biết những cách nào có thể chứng minh được tính duy nhất thì post lên để cùng trao đổi.

[hoadaica]

Đa thức Trebushev. http://dientuvietnam...tex.cgi?T_{n}(x)=\dfrac{(x+(x^2-1)^{1/2})^n+(x-(x^2-1)^{1/2})^n}{2}.
Giải phương trình: http://dientuvietnam...tex.cgi?T_{n}(x)=cos(narccosx),
ta tìm được các nghiệm: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\overline{T_{n}}(x)=2^{1-n}T_{n}(x)
Định lý: Cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^n là 1. Khi đó: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\overline{T_{n}}(x)-P_{n}(x)
thay đổi dấu. Đa thức có số
mũ lớn nhất là n-1,
lại có thể có n nghiệm khác nhau - điều vô lý. Ta có điều phải chứng
minh.

[vinhspiderman]

Xin lỗi vì mình nói chưa rõ ý. Phép chứng minh của bạn là để chứng minh đa thức Chebyshev chia cho 2^n-1 có chuẩn min trong tất cả các đa thức bậc n có hệ số cao nhất là 1. Ở đây mình muốn đề cập đến phép chứng minh rằng đa thức Chebyshev là đa thức duy nhất có tính chất này.

Liên hệ một tí với giải tích hàm, ta biết trong không gian Hilbert, cho trước một tập lồi đóng và một điểm bất kì thì tồn tại duy nhất một điểm trong tập lồi đóng đó sao cho khoảng cách từ nó đến điểm cho trước là nhỏ nhất. Ở đây ta thấy tập tất cả các đa thức bậc n có hệ số cao nhất là 1 là một tập lồi đóng. Tuy nhiên không gian các hàm liên tục trên đoạn [-1,1] lại không phải là không gian Hilbert. Tuy nhiên điều thú vị là tính duy nhất vẫn đúng!

[hoadaica]

kì ta, có gì khác nhau không nhỉ?

[emvaanh]

Bài này cũng không khó lắm!
Hôm nào mình rãnh sẽ post lời giải hoàn toàn dễ hiểu không quá 15 dòng cho xem.
Dạo này cũng hơi lười...

[hbt]

emvaanh này, bạn có chủ quan không?
Theo mình biết thì phép chứng minh rằng đa thức Chebyshev là đa thức duy nhất có sup nhỏ nhất không phải là tầm thường đâu. Có thể chứng minh nó bằng lập luận hơi sơ cấp nhưng tương đối khó. Bạn có học với thầy Phạm Kỳ Anh không? Nếu có thì hỏi thầy thử xem chứng minh mệnh đề đó dễ hay khó!!! Nếu thật sự bạn có phép chứng minh nào đơn giản thế thì post lên cho mình và các bạn trên diễn đàn học hỏi với.

[emvaanh]

Giải bài này chỉ dựa vào một đảng thức mà thôi...

[Kakalotta]

Bài này là cổ điển rồi, hồi cấp 3 lớp mình có học qua.
Đại khái là thế này, Đặt P là đa thức trebuwsep bậc n, chuẩn 1 trên [0,1]. Khi đó đối với mọi đa thức khác, f(x), cùng hệ số cao nhất, ||f||<=||P||, ta luôn thấy ngay rằng, P-f dao động với số lần "vựot quá mức cho phép" của bậc của nó, nên triệt tiêu.

[emvaanh]

Mình tính treo nick, nhưng vì đã lỡ hứa (xíu nữa là quên nếu không có hbt nhắc nhỡ) nêu cố post thêm vài dòng nữa.

-->to Kakalotta (tên tiếng Nhật chắc)
Mình không giống như bạn, cấp 3 không được học cái này. Mình đã tồng quát bài 6 đề thi TQ vòng 2 2001 lên thành bài này đây. Quả thật là chỉ giải dựa vào một đẳng thức thôi.

Giải: Xét http://dientuvietnam...x_0,x_1,...,x_n), hơn thế nữa x_i cùng dấu với T(x_i) với mọi i.
Lúc ấy ta có: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_{i=0}^{n}x_iT(e_i)=1, đặt http://dientuvietnam...gi?y_i=x_iT(e_i) >0, lúc đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_{i=0}^{n}y_i=1
Xét f(x) là một đa thức bất kì bậc n có hệ số cao nhất là 1.
Khi ấy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_{i=0}^{n}y_i.f(e_i)/T(e_i)=\sum_{i=0}^{n}x_i.f(e_i)=1/2^{n-1}.
Đẳng thức này suy ra http://dientuvietnam...metex.cgi?f(e_i)/T(e_i)=1/2^{n-1} với mọi i tức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=1/2^{n-1}T(x)
Bài toán đến đây coi như xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 13-12-2005 - 17:41