Chủ đề này có 2 trả lời

[MonsterOfMath]

Bài 1: Giải các phương trình sau:
$\left ( 5 - \sqrt{21} \right )^{x} + 7\left ( 5 + \sqrt{21} \right )^{x} = 2^{x+3};$
$8^{x} + 18^{x} = 2.27^{x}$

Bài 2: Giải phương trình (Theo phương pháp sử dụng hàm số để đánh giá):
$3^{x} + 4^{x} = 5^{x};$
$2^{\left | x \right |} = sin^{2}x;$
$8^{x} = 7x + 1$

Bài 3: Giải các phương trình sau:
$49^{\frac{1}{x}} - 35^{\frac{1}{x}} = 25^{\frac{1}{x}};$
$25^{x} - 2\left ( 3-x \right )5^{x} + 2x - 7 = 0;$
$9^{x} + 2\left ( x-2 \right )3^{x} + 2x - 5 = 0;$
$\left ( 2 + \sqrt{3} \right )^{x^{2}-2x+1} + \left ( 2 - \sqrt{3} \right )^{x^{2}-2x-1} = \frac{2}{2-\sqrt{3}}$

[Ispectorgadget]

Bài 2: Giải phương trình (Theo phương pháp sử dụng hàm số để đánh giá):
$3^{x} + 4^{x} = 5^{x};$

$\Leftrightarrow (\frac{4}{5})^x+(\frac{3}{5})^x=1$
Đặt $f(x)=(\frac{4}{5})^x+(\frac{3}{5})^x$
Do hệ số mũ của $x$ nhỏ hơn 1 nên $f(x)$ là hàm số giảm. Do đó phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
$f(2)=1$.
Vậy $x=2$

$8^{x} = 7x + 1$

TH1: $0 \leq x\leq 1$
Áp dụng BĐT Bernoulli ta có
$VT \geq 7x+1$
Dấu"=" xảy ra khi $x=1; x=0$
TH2: $x\leq 0$ hoặc $x\geq 0$ thì $VT\geq VP$ dấu "=" xảy ra khi $x=1;x=0$ vậy phương trình có nghiệm $x=1;x=0$
Sao phong cách nhìn giống hxthanh nhỉ

[Crystal]

Bài 3: Giải các phương trình sau:
$\left ( 2 + \sqrt{3} \right )^{x^{2}-2x+1} + \left ( 2 - \sqrt{3} \right )^{x^{2}-2x-1} = \frac{2}{2-\sqrt{3}}$

Xem bài Giải bất phương trình: $(2+\sqrt{3})^{x^2-2x+1}+(2-\sqrt{3})^{x^2-2x-1}\leq \frac{4}{2-\sqrt{3}}$ tại đây.

Bài 1: Giải các phương trình sau:
$\left ( 5 - \sqrt{21} \right )^{x} + 7\left ( 5 + \sqrt{21} \right )^{x} = 2^{x+3};$

Phương trình đã cho tương đương với:
\[{\left( {5 - \sqrt {21} } \right)^x} + 7{\left( {5 + \sqrt {21} } \right)^x} = {8.2^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} + 7{\left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = 8\]
Ta có: ${\left( {\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)^x}{\left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)}^x}}}$

Đặt $t = {\left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} \Rightarrow {\left( {\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$. Khi đó ta có phương trình:

\[\frac{1}{t} + 7t = 8 \Leftrightarrow 7{t^2} - 8t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = \frac{1}{7}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = 1\\
{\left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{7}
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{\left( {\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)^x} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = {\log _{\left( {\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right)}}7
\end{array} \right.\]
* Kết luận: ...

Bài 1: Giải các phương trình sau:
$8^{x} + 18^{x} = 2.27^{x}$

Phương trình đã cho tương đương với:
\[{\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^x} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{3x}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} - 2 = 0\]
Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 0$, ta được phương trình:
\[{t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\,\,\left(\text{vì}\,\,\, {{t^2} + t + 2 > 0} \right)\]
Suy ra: ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=0$.

Bài 3: Giải các phương trình sau:
$49^{\frac{1}{x}} - 35^{\frac{1}{x}} = 25^{\frac{1}{x}};$

Điều kiện: $x \ne 0$.

Chia hai vế của phương trình cho ${25^{\frac{1}{x}}} \ne 0$, ta được:
\[{\left( {\frac{{49}}{{25}}} \right)^{\frac{1}{x}}} - {\left( {\frac{7}{5}} \right)^{\frac{1}{x}}} = 1 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0\,\,\,\left( {t = {{\left( {\frac{7}{5}} \right)}^{\frac{1}{x}}} > 0} \right)\]
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\
t = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\left(\text {loại} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{5}} \right)^{\frac{1}{x}}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _{\frac{7}{5}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$$ $$\Leftrightarrow x = \frac{1}{{{{\log }_{\frac{7}{5}}}\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}$$
Bạn có thể biến đổi $x$ để gọn hơn.

Bài 3: Giải các phương trình sau:
$25^{x} - 2\left ( 3-x \right )5^{x} + 2x - 7 = 0;$

Hướng dẫn:

Đặt $t = {5^x} > 0$, phương trình trở thành: \[{t^2} - 2\left( {3 - x} \right)t + 2x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\,\,\,\left( \text{loại} \right)\\
t = 7 - 2x
\end{array} \right.\]
Đến đây giải tiếp bạn nhé.

Bài 3: Giải các phương trình sau:
$9^{x} + 2\left ( x-2 \right )3^{x} + 2x - 5 = 0;$

Tương tự bài trên. Bạn đặt $t = {3^x} > 0$.