Chủ đề này có 15 trả lời

[hptai1997]

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, DÙNG TỔNG SAI PHÂN

Bài 1.Cho bốn số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
$a)1< \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}< 2$
$b)2< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}<3$
$c)2<\frac{a+d}{a+d+c}+\frac{b+a}{b+a+d}+\frac{c+b}{c+b+a}+\frac{d+b}{d+b+c}<3$
Bài 2.Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abcd=1.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{a}{1+c+cd}+\frac{1}{1+d+da}>1$
Bài 3.Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$1<\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ca}+\frac{c^2}{c^2+ab}<2$
Bài 4.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
$a)1<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}<2$
$b)\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{n^2}>\frac{n}{n+1}$
$c)\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{n^2+(n+1)^2}<\frac{1}{2}$
$d)\frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\frac{7}{144}+...+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}<1$
$e)\frac{1}{7}+\frac{1}{13}+\frac{1}{21}+...+\frac{1}{n^2+3(n+1)}<\frac{n}{2(n+2)}$
Bài 5. Chứng minh rằng:
$a)\frac{4}{3}<\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+...+\frac{1}{69}+\frac{1}{70}<\frac{5}{2}$
$b)\frac{7}{12}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}<\frac{5}{6}$
$c)\frac{1}{15}<\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{97}{98}.\frac{98}{100}<\frac{1}{10}$
Bài 6. Cho n số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
$a)\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}$
$b)2\sqrt{n}-3<\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2$
$c)\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2+1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}<\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 2$ ta có:
$a)\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}<1$
$b)\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n^2}>1$
$c)\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}<\frac{3}{4}$
$d)0.71<\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}<0.72 ,(n\geq 5)$
Bài 8. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
$a)\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}.\frac{4^3-1}{4^3+1}...\frac{n^3-1}{n^3+1}>\frac{2}{3},(n\geq 2)$
$b)\frac{1}{1^4+4}+\frac{3}{3^4+4}+\frac{5}{5^4+4}+...+\frac{2n-1}{(2n-1)^4+4}<\frac{1}{4}$
Bài 9. Xét dãy số $a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$ với n=1,2,3,...,k.
Đặt $S_k=u_1+u_2+u_3+...+u_k$.Chứng minh rằng: $18<\frac{1}{S}\leq 24$
Bài 10.Cho n và p là hai số nguyên dương bất kì.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+p+1}< \frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(n+p)^2}< \frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}$
Bài 11.Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1.3...(2n-1)}{2.4...2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
Bài 12.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
$a)\frac{n^2}{2}<1+2+...+n<\frac{(n+1)^2}{2}$
$b)\frac{n^3}{3}<1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}$
Bài 13.Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\geq 1,n\epsilon N:$
$1+(\sqrt{2}-\sqrt{1})^2+...+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})^2>\frac{1}{2}(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1})$
Bài 14.Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2}<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hptai1997: 20-07-2012 - 11:32

[henry0905]

Bài 1:
a) Ta có: $\frac{a}{a+c}> \frac{a}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}> \frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
Ta lại có:
$\frac{y}{x}< \frac{y+z}{x+z}$ với x>y
Áp dụng: $\sum \frac{a}{a+c}< \sum \frac{a+b}{a+b+c}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 20-07-2012 - 11:34

[henry0905]

Áp dụng 1a)
c) Ta có: $\sum \frac{a+d}{a+c+d}> \sum \frac{a+d}{a+b+c+d}=2$
$\sum \frac{a+d}{a+c+d}< \sum \frac{a+b+d}{a+b+c+d}=3$

[triethuynhmath]

Bài 1:
b) $\frac{a+b}{a+b+c}< \frac{a+b+d}{a+b+c+d}$
TƯơng tự , cộng vế theo vế.
Ta có :
$\sum \frac{a+b}{a+b+c}< 3$
$\frac{a+b}{a+b+c}> \frac{a+b}{a+b+c+d}$
CMTT,cộng vế theo vế $=>\sum \frac{a+b}{a+b+c}> 2$(Q.E.D)

[defaw]

Bài 11.Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1.3...(2n-1)}{2.4...2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Giải: Ta chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{2n-1}{2n} < \frac{\sqrt{3n-2}}{\sqrt{3n+1}}\Leftrightarrow n > 1$
Áp dụng bất đăng thức trên, ta có
$\frac{1.3...(2n-1)}{2.4...2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
Áp dụng bất đẳng thức $\frac{2n-1}{2n} > \frac{2\sqrt{n-1}}{2\sqrt{n}}\Leftrightarrow \frac{1}{n}-\frac{1}{4n^2}<\frac{1}{n}$,
ta chứng minh được $\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1.3...(2n-1)}{2.4...2n}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi defaw: 20-07-2012 - 11:50

[henry0905]

4a)
Tổng có 2n+1 số, ghép thành n cặp số và phân số $\frac{1}{2n+1}$
Ta có: $\frac{1}{2n+1-k}+\frac{1}{2n+1+k}=\frac{4n+2}{(2n+1)^{2}-k^{2}}> \frac{4n+2}{(2n+1)^{2}}=\frac{2}{2n+1}$
Đặt A là tổng đó
$\Rightarrow A> \frac{2n}{2n+1}+\frac{1}{2n+1}=1$
Bài 14: Ta có: $\frac{1}{n+k}> \frac{1}{2n}$ với k=1;2;...;n-1
$\Rightarrow A> \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$
Vế còn lại thì chứng minh tương tự ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 20-07-2012 - 12:47

[triethuynhmath]

Bài 6:
a) Ta có:
$0<1< 2< 3< ...< n$
$=>\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}$
=> $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...\frac{1}{\sqrt{n}}> \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$

[defaw]

Bài 12.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
$a)\frac{n^2}{2}<1+2+...+n<\frac{(n+1)^2}{2}$
$b)\frac{n^3}{3}<1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}$
Giải: (a)Bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với $\frac{n^2}{2}<\frac{n(n+1)}{2}<\frac{(n+1)^2}{2}$, đúng với $n\in \mathbb{N}$

(b)Bất đẳng thức có thể viết lại thành $\frac{n^3}{3}<\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<\frac{(n+1)^3}{3}$
(có thể chứng minh quy nạp rằng $1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$), cũng đúng với $n\in \mathbb{N}$ do $2{n^3}<n(n+1)(2n+1)<2(n+1)^3$.

[triethuynhmath]

Bài 6 :
b) Áp dụng BĐT:
$2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}>\frac{1}{\sqrt{n}}>2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}$
Áp dụng BĐT trên rồi cộng vế theo vế,ta được:
$2\sqrt{2}-2+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+...2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}>\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}> 2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{4}-2\sqrt{3}+...+2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n}-3$(Do $2\sqrt{n+1}>2\sqrt{n},-2\sqrt{2}>-3(2\sqrt{2}<3)$

[henry0905]

Bài 6b) đã chứng minh ở đây http://diendantoanho...n-khong-vi-sao/
4d) Ta có dạng tổng quát là:
$\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}$
$\Rightarrow D=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}}< 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 20-07-2012 - 12:25

[triethuynhmath]

Bài 6:
6c)
$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+n+1}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{(2n+1)^2}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n+1}}<\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n(n+1)}}=\frac{1}{2\sqrt{n}}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}$
CMTT rồi cộng vế theo vế,ta được:
$\frac{\sqrt{2}-1}{2+1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}< \frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$(Q.E.D)

[henry0905]

7a) Ta có: $\frac{n-1}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}$
Áp dụng:
$A=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}<1$

[defaw]

Giải 5c:
Áp dụng bài 11, ta có $\frac{1}{15}<\frac{1}{2\sqrt{50}}<\frac{1.3...99}{2.4...100}<\frac{1}{\sqrt{3\cdot 50+1}}<\frac{1}{10}$.

[defaw]

Bài này hình như sai đề anh à?
Bài 9. Xét dãy số $a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$ với n=1,2,3,...,k.
Đặt $S_k=a_1+a_2+a_3+...+a_k$.Chứng minh rằng: $18<\frac{1}{S}\leq 24$

Giải: Ta có số hạng tổng quát của dãy là $a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$
$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{3}\cdot \frac{(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3})$.
Như vậy, sau khi rút gọn, ta có: $S_k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}>1$, với $k\geq 3$. Do đó $\frac{1}{S}<1$ (!).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi defaw: 20-07-2012 - 12:53

[henry0905]

Bài này hình như sai đề anh à?
Bài 9. Xét dãy số $a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$ với n=1,2,3,...,k.
Đặt $S_k=a_1+a_2+a_3+...+a_k$.Chứng minh rằng: $18<\frac{1}{S}\leq 24$

Giải: Ta có số hạng tổng quát của dãy là $a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$
$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{3}\cdot \frac{(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3})$.
Như vậy, sau khi rút gọn, ta có: $S_k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}>1$, với $k\geq 3$. Do đó $\frac{1}{S}<1$ (!).

Bạn nhằm chỗ này:
$a_{n}=\frac{1}{3}.\frac{3(n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\neq \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$

[chaugaihoangtuxubatu]

Bài 11.Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1.3...(2n-1)}{2.4...2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Giải: Ta chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{2n-1}{2n} < \frac{\sqrt{3n-2}}{\sqrt{3n+1}}\Leftrightarrow n > 1$
Áp dụng bất đăng thức trên, ta có
$\frac{1.3...(2n-1)}{2.4...2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$
Áp dụng bất đẳng thức $\frac{2n-1}{2n} > \frac{2\sqrt{n-1}}{2\sqrt{n}}\Leftrightarrow \frac{1}{n}-\frac{1}{4n^2}<\frac{1}{n}$,
ta chứng minh được $\frac{1}{2\sqrt{n}}<\frac{1.3...(2n-1)}{2.4...2n}$.

Cho mình hỏi là làm thế nào nghĩ ra được cách này thế?