Chủ đề này có 7 trả lời

[hptai1997]

Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương ta có:
$\left (1+\frac{x}{y}\right )\left (1+\frac{y}{z}\right )\left (1+\frac{z}{x}\right )\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 23-07-2012 - 04:36

[defaw]

Em thấy với $x=y=z$ thì $(1+\frac{x}{y})+(1+\frac{y}{z})+(1+\frac{z}{x})=6$, còn $2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}=8$, bất đẳng thức bị ngược lại.

[davildark]

Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương ta có:
$(1+\frac{x}{y})+(1+\frac{y}{z})+(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Đề sai rồi đề đúng phải là như sau
$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

[ninhxa]

-Đề như vậy thì tớ làm như sau:
-Nhân tung ra thì bất đẳng thức tương tương với:
$\frac{y+z}{x}+\frac{y+x}{z}+\frac{x+z}{y}\geq \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$
$\frac{y+z}{x}+1+\frac{y+x}{z}+1+\frac{x+z}{y}+1\geq \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}+3$
$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 2\left ( \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}} \right )+3$
-Có $\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq (x+y+z)\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}$ nên chỉ cần c/m
$\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\geq 3$ (cái này đúng theo AM-GM)
$\to dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 21-07-2012 - 17:21

[thaohienmen]

Tìm GTLN của $P = 5a - 4abc$. Biết $0\leq a\leq b\leq c$ và $a^2+b^2+c^2=3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaohienmen: 21-07-2012 - 21:03

[cool hunter]

Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương ta có:
$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Dễ thấy bđt cần c/m là hệ quả của bđt: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$ (1)
Ta nhóm & use bđt AM-GM:
$3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})=(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z})+(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y})\geq \frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}(2))$
=>$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$
=> đpcm
Vấn đề bi giờ là c/m cụ thể (1) & (2). AI giúp t nhé!

[hptai1997]

Dễ thấy bđt cần c/m là hệ quả của bđt: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$ (1)
Ta nhóm & use bđt AM-GM:
$3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})=(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z})+(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y})\geq \frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}(2))$
=>$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$
=> đpcm
Vấn đề bi giờ là c/m cụ thể (1) & (2). AI giúp t nhé!

Mình cũng vậy, caí naỳ trong cuốn sáng taọ bđt, mà lơì giaỉ vắn tắt quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hptai1997: 21-07-2012 - 22:37

[bastian schweinsteiger]

$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{x}{x}\geq 3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}$