Chủ đề này có 13 trả lời

[manucian96]

Giải phương trình: $\sqrt{2x^{2}+x+6}+\sqrt{x^{2}+x+2}=x+\frac{4}{x}$

[donghaidhtt]

Giải phương trình: $\sqrt{2x^{2}+x+6}+\sqrt{x^{2}+x+2}=x+\frac{4}{x}$

Điều kiện: $x\neq 0$
Đặt
$a=\sqrt{2x^{2}+x+6}; b=\sqrt{x^{2}+x+2}$
$a^{2}-b^{2}=x^{2}+4$
$a+b=\dfrac{x^{2}+4}{x}$
$x^{2}+4=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=(a-b)\frac{x^{2}+4}{x}$
Nên: $a-b=x$
Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} a-b=x\\ a+b=\dfrac{x^{2}+4}{x} \end{matrix}\right.$
Nên $b=\frac{2}{x}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0\\ x^{4}+x^{3}+2x^{2}-4=(x-1)(x^{3}+2x^{2}+4)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1$
Ra đc nghiệm 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 22-07-2012 - 11:40

[Crystal]

Giải phương trình: $\sqrt{2x^{2}+x+6}+\sqrt{x^{2}+x+2}=x+\frac{4}{x}$

Cách 1.

Điều kiện: $x>0$

Phương trình đã cho tương đương với:
\[\sqrt {2{x^2} + x + 6} - 3 + \sqrt {{x^2} + x + 2} - 2 - x + 1 - \frac{4}{x} + 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 6} + 3}} + \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2}} - \left( {x - 1} \right) + 4\frac{{x - 1}}{x} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 6} + 3}} + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2}} - \left( {x - 1} \right) + 4\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{x} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{2x + 3}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 6} + 3}} + \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 2} + 2}} + \frac{4}{x} - 1} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = 1\]
Cách 2.

Điều kiện: $x>0$

Phương trình đã cho tương đương với:
\[\sqrt {2{x^2} + x + 6} + \sqrt {{x^2} + x + 2} - x - \frac{4}{x} = 0\]
Xét hàm số: $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + x + 6} + \sqrt {{x^2} + x + 2} - x - \frac{4}{x}\,\,\,\,\,x>0$

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{4x + 1}}{{2\sqrt {2{x^2} + x + 6} }} + \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 2} }} + \frac{4}{{{x^2}}} - 1 > 0,\,\,\forall x > 0$

Suy ra phương trình $f(x)=0$ có nghiệm là nghiệm duy nhất.

Mặt khác: $f\left( 1 \right) = 0$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=1$.

[manucian96]

Tiếp nè!
Giải phương trình: $x^{2}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

[T M]

Tiếp nè!
Giải phương trình: $x^{2}+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

http://diendantoanho...h/page__st__120

#134

[manucian96]

Giải phương trình: $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x+1}=2\sqrt[4]{2x+1}$

[nthoangcute]

Giải phương trình: $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x+1}=2\sqrt[4]{2x+1}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta được:
$(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x+1} )^4 \leq 8 (x+x+1)=8(2x+1)<16(2x+1)$
Suy ra $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x+1}<2\sqrt[4]{2x+1}$
Suy ra phương trình vô nghiệm !

[manucian96]

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x-8}$

[chrome98]

Giải: Đặt $x-8=y$. Ta có phương trình $\sqrt[3]{y+8}+\sqrt[3]{y-8}=\sqrt[3]{y}$
Lập phương hai vế, ta có:$2y+3\sqrt[3]{y^2-64}(\sqrt[3]{y+8}+\sqrt[3]{y-8})=y$
$\Rightarrow 3\sqrt[3]{y^2-64}(\sqrt[3]{y})=-y$
$\Leftrightarrow 28y^3-1728y=0$
$\Leftrightarrow y(28y^2-1728)=0$
$\Leftrightarrow$ $y=0$ hoặc $y=\frac{432}{7}$
$\Leftrightarrow$ $x=8$ hoặc $x=\frac{488}{7}$. Ta thấy chỉ có $\boxed{x=8}$ thoả mãn.

[L Lawliet]

Giải: Đặt $x-8=y$. Ta có phương trình $\sqrt[3]{y+8}+\sqrt[3]{y-8}=\sqrt[3]{y}$
Lập phương hai vế, ta có:$2y+3\sqrt[3]{y^2-64}(\sqrt[3]{y+8}+\sqrt[3]{y-8})=y$
$\Rightarrow 3\sqrt[3]{y^2-64}(\sqrt[3]{y})=-y$
$\Leftrightarrow 28y^3-1728y=0$
$\Leftrightarrow y(28y^2-1728)=0$
$\Leftrightarrow$ $y=0$ hoặc $y=\frac{432}{7}$
$\Leftrightarrow$ $x=8$ hoặc $x=\frac{488}{7}$. Ta thấy chỉ có $\boxed{x=8}$ thoả mãn.

Sao phía trên lại là nghiệm bằng 1 nhỉ @@

[manucian96]

Giải phương trình: $\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}=x\sqrt[3]{2}$

[WhjteShadow]

Giải phương trình: $$\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}=x\sqrt[3]{2}$$

Đặt $x=y+1$ và
Vậy từ phương trình ta được:
$$\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y+2}=(y+1)\sqrt[3]{2}$$
$$\Leftrightarrow y+y+2+3\sqrt[3]{y(y+2)}(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y+2})=2(y+1)^3$$
$$\Leftrightarrow 2y+2+3\sqrt[3]{2}(y+1)\sqrt[3]{y(y+2)}=2(y+1)^3$$
$$\Leftrightarrow (y+1)(2+3\sqrt[3]{2y(y+2)}-2(y+1)^2)=0$$
$$\Leftrightarrow y=-1\wedge 3\sqrt[3]{2y(y+2)}=2y(y+2)$$
$$\Leftrightarrow y=-1\wedge y(y+2)=0 \wedge y^2(y+2)^2=\frac{27}{4}$$
$$\Leftrightarrow y=-2\wedge y=-1 \wedge y=0 \wedge y=-1 \pm \frac{\sqrt{4+6\sqrt{3}}}{2}$$
$$\Leftrightarrow x=-1\wedge x=0 \wedge x=1 \wedge x= \pm \frac{\sqrt{4+6\sqrt{3}}}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 24-07-2012 - 12:44

[manucian96]

Giải phương trình: $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x$

[chrome98]

Giải: ĐKXĐ: $x\geq -1$
Ta có phương trình tương đương:
$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x-\sqrt{x+3})(x-\sqrt{x+1})=0$
$\Leftrightarrow \begin{matrix} \sqrt{x+3}=\sqrt{x+1} \\ x=\sqrt{x+3} \\ x=\sqrt{x+1} \end{matrix}$
$\Leftrightarrow \begin{matrix} x=\frac{1+\sqrt{13}}{2} \\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$.
Vậy bài toán đã được làm xong.