Chủ đề này có 2 trả lời

[huymit95]

Bài toán [Nguyễn Vũ Lương]
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

• $\sqrt{\dfrac{x}{y+2z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+2z}}+2\sqrt{\dfrac{z}{x+y+z}}> 2$
  
• $\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+2z}}+\sqrt[3]{\dfrac{y}{x+2z}}+2\sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y+z}}>2$

[WhjteShadow]

Ý tưởng: Dùng bất đẳng thức $AM-GM$ để đưa cả 3 phân thức về cùng 1 mẫu
1.Ta có:
$\sqrt{\frac{x}{y+2z}}=\frac{2x}{2\sqrt{x(y+2z)}}\geq \frac{2x}{x+y+2z}$
và $\sqrt{\frac{y}{x+2z}}=\frac{2y}{2\sqrt{y(x+2z)}}\geq \frac{2y}{x+y+2z}$
và $2\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}=\frac{4z}{2\sqrt{z(x+y+z)}}\geq \frac{4z}{x+y+2z}$
Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều trên ta có ngay ĐPCM.Không xảy ra dấu bằng.

[WhjteShadow]

2.Một ý tưởng đến thật tự nhiên là ta sẽ đưa bài toán về như ý 1.*Có nghĩa là sẽ chứng minh:
$$\sqrt[3]{\frac{x}{y+2z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x+2z}}+2\sqrt[3]{\frac{z}{x+y+z}}\geq \sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}$$
Với $a=\sqrt[3]{x^2},b=\sqrt[3]{y^2},c=\sqrt[3]{z^2}$ ($a,b,c>0$)
Thật vậy đầu tiên ta sẽ chứng minh:
$\sqrt[3]{\frac{x}{y+2z}}\geq \sqrt{\frac{a}{b+2c}}$
$\Leftrightarrow (\frac{x}{y+2z})^2\geq (\frac{a}{b+2c})^3$
$\Leftrightarrow (b+2c)^3\geq (y+2z)^2$ (Do $x^2=a^3$)
$\Leftrightarrow b^3+8c^3+6bc(b+2c)\geq y^2+4yz+4z^2$
$\Leftrightarrow 4c^3+6bc(b+2c)\geq 4yz$
Điều này đúng do $4c^3+6bc(b+2c)\geq 2bc(b+c)\geq 4\sqrt{b^3c^3}= 4yz$
Tương tự vậy ta cũng có $\sqrt[3]{\frac{y}{x+2z}}\geq \sqrt{\frac{b}{a+2c}}$
Cuối cùng chỉ phải chứng minh:
$2\sqrt[3]{\frac{z}{x+y+z}}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}$
$\Leftrightarrow (\frac{z}{x+y+z})^2\geq (\frac{c}{a+b+c})^3$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq (x+y+z)^2$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc]\geq x^2+y^2+z^2+2(yz+zx+xy)$
$\Leftrightarrow 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc]\geq 2(yz+zx+xy)$
Đúng do $3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc]\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\geq 2(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{a^3c^3})=2(xy+yz+zx)$
Vậy tóm lại ta có
$$\sqrt[3]{\frac{x}{y+2z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x+2z}}+2\sqrt[3]{\frac{z}{x+y+z}}\geq \sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}\geq 2$$
Phép chứng minh hoàn tất .Không có dấu bằng xảy ra