Chủ đề này có 10 trả lời

[hoacafe]

mình muốn hỏi bài toán sau:
liệu có tồn tại hàm f:[a,b]-->R đơn điệu thỏa mãn:
Với E là tập các điểm gián đoạn của f(x) thì inf|f(x)-f(y)|=0 với x,y thuộc E

[emvaanh]

Có đấy, hãy lấy f(x)=0 khi x=0, f(x)=x-1 khi x<0, f(x)=x+1 khi x>0 khi đó f tằng ngặt và E={0} và f(E)={0}

[hoacafe]

sorry y minh la E co vo han phan tu

[congchuabuon]

Congchua chưa kiểm tra nhưng đã lỡ vô đây mà không hỏi gì thì không phải là công chúa.
Hãy chỉ ra hàm số từ R-->R mà:
1. Liên tục mọi nơi nhưng không khả vi mọi chỗ.
1. Đơn điệu mọi nơi nhưng không liên tục mọi chỗ.

[N.V.Minh]

mình muốn hỏi bài toán sau:
liệu có tồn tại hàm f:[a,b]-->R đơn điệu thỏa mãn:
Với E là tập các điểm gián đoạn của f(x) thì inf|f(x)-f(y)|=0 với x,y thuộc E

Bạn hình dung hình học thế này nhé : Chia đôi liên tiếp đoạn này theo nghĩa giữ lại đoạn bên phải và chia tiếp đoạn bên trái .Trên [0,1/2] đồ thị là đường chéo bất kì ( hàm bậc 1 ), trên (1/2 , 1/2 +1/4] bạn dịch chuyển song song đồ thị của đoạn trước lên (1/2)^n đv , trong đó n là số lần dịch chuyển , và thu nhỏ lại cho khít với đoạn này . Cứ thế , bạn được hàm số thỏa mãn yêu cầu . Biểu thức cụ thể của hàm này là dành cho bạn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 26-10-2005 - 14:13

[emvaanh]

Bạn thử nghĩa lại đi, không đơn giản như bạn nghĩ đâu. Câu hỏi của công chúa mà lị!
Thật đấy, nên đọc lại kĩ lại câu hỏi của công chúa buồn đi. Hai câu này loài người bí cả mấy thập kỉ đấy!!!

[N.V.Minh]

Bạn thử nghĩa lại đi, không đơn giản như bạn nghĩ đâu. Câu hỏi của công chúa mà lị!
Thật đấy, nên đọc lại kĩ lại câu hỏi của công chúa buồn đi. Hai câu này loài người bí cả mấy thập kỉ đấy!!!

Lại câu được bài rồi , mừng quá !
Bạn xem lại đi , tớ có trả lời công chúa đâu . Mấy câu của công chúa nổi tiếng quá thành ra ... tớ không muốn trả lời .

[emvaanh]

Xin trả loi thế này:
Câu 1: Tìm hàm f duoi dạng chuỗi.
Câu 2: Không thể có! CM trong R mọi hàm tang có dếm duoc các diểm gián doạn.

[Ham_Toan]

Hãy chỉ ra hàm số từ R-->R mà:
1. Liên tục mọi nơi nhưng không khả vi mọi chỗ.
1. Đơn điệu mọi nơi nhưng không liên tục mọi chỗ.

Câu 1: dĩ nhiên là có nhưng mà để chỉ ra thì e là không thể (đơn giản là vì quá dài và quá khó)

Câu 2: không thể có f như vậy:
Một hàm đơn điệu thì chỉ có không quá đếm được điểm không liên tục.
Cm:
Giả sử f tăng
Mđề: f không liên tục tại x <=> f(x-) < f(x+)
Hiển nhiên, vì f(x-) = sup {f(y) | f(y)< f(x) }
f(x+) = inf {f(y) | f(y) > f(x) }
Gọi A={x| f không liên tục tại x}
x A, đặt C(x) = (f(x-), f(x+)) gọi r(x) là số hữu tỉ thuộc C(x)
Xét ánh xạ g: A -> Q , g(x) = r(x)
Khi đó g đơn ánh, nên ta có đpcm

[nemo]

Bạn xem lại đi , tớ có trả lời công chúa đâu . Mấy câu của công chúa nổi tiếng quá thành ra ... tớ không muốn trả lời .

Mấy câu này đúng là quá nổi tiếng nên hầu như sách nào viết đầy đủ một chút là có đề cập, như sách của Rudin, của Hoàng Tụy...

Dễ hình dung thì đồ thị hàm số này được dựng qui nạp theo kiểu fractal dạng giống như mấy cái hình do điện đồ đo chấn động vẽ ra ấy (chẳng biết dùng từ thế nào nữa).

[LHTung]

Câu 1 của công chúa theo ý Nemo là dựng IFS cho hàm Van der Waerden ( không biết viết tên có đúng không) trên [0,1]x[0,3/8] rồi mở rộng tuần hoàn lên mặt phẳng . Hàm có đồ thị biểu diễn dưới dạng 1 chuỗi .

Câu 2 của nàng thì có 1 kết quả rất nổi tiếng của Lebeg : Hàm đơn điệu là khả vi hầu khắp nơi . Vì thế mà không có hàm nào như nàng chờ đợi .