Chủ đề này có 1 trả lời

[LakcOngtU]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng: $x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x \le \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$

[Crystal]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng: $x^{n}y+y^{n}z+z^{n}x \le \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$

Bài 27:Cho $x, y, z$ là các số thực không âm và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z) = x^n y + y^n z + z^n x\,\,,\,n \in N$.

1. Nếu $n=0$ thì $f\left( {x,y,z} \right) = x + y + z = 1 \Rightarrow maxf(x,y,z) = 1$

2. Nếu $n=1$ thì $f\left( {x,y,z} \right) = xy + yz + zx \le \dfrac{1}{3}\left( {x + y + z} \right)^2 = \dfrac{1}{3}$
$$\Rightarrow maxf(x,y,z) = \dfrac{1}{3}\,\,\,\text{ khi}\,\,\, x = y = z = \dfrac{1}{3}$$
3. Nếu $n>1$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x = max\left\{ {x,y,z} \right\}$

Do $y \le x \Rightarrow y^n z \le x^{n - 1} yz$

Do $z \le x \Rightarrow z^n x \le zx^n $ và $z^n x \le z^2 x^{n - 1} $

Vì $n>1$ nên $\dfrac{{n - 1}}{n} \ge \dfrac{1}{2}\, \Rightarrow \,\dfrac{{n - 1}}{n}z \ge \dfrac{z}{2}$.

Như vậy ta có:

$$f(x,y,z) = x^n y + y^n z + z^n x \le x^n y + x^{n - 1} yz + \dfrac{1}{2}z^n x + \dfrac{1}{2}z^n x$$

$$\le x^n y + x^{n - 1} yz + \dfrac{{zx^n }}{2} + \dfrac{{z^2 x^{n - 1} }}{2} = x^{n - 1} (x + z)\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)$$

$$\le x^{n - 1} (x + z)\left( {y + \dfrac{{n - 1}}{n}z} \right) = n^n \left[ {\underbrace {\dfrac{x}{n}.\dfrac{x}{n}...\dfrac{x}{n}}_{n - 1\,}.\dfrac{{x + z}}{n}\left( {y + \dfrac{{n - 1}}{n}z} \right)} \right]\,\,(1)$$

Theo BĐT AM - GM thì:

$$\underbrace {\dfrac{x}{n}.\dfrac{x}{n}...\dfrac{x}{n}}_{n - 1\,}.\dfrac{{x + z}}{n}\left( {y + \dfrac{{n - 1}}{n}z} \right) \le \left[ {\dfrac{{(n - 1)\dfrac{x}{n} + \dfrac{{x + z}}{n} + y + \dfrac{{n - 1}}{n}z}}{{n + 1}}} \right]^{n + 1} \,\,\,\,(2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được:

$$f(x,y,z) \le n^n \dfrac{{\left( {x + y + z} \right)^{n + 1} }}{{(n + 1)^{n + 1} }} = \dfrac{{n^n }}{{(n + 1)^{n + 1} }}$$

$$\Rightarrow maxf(x,y,z) = \dfrac{{n^n }}{{(n + 1)^{n + 1} }}$$

Dấu "=" xảy ra khi nào mọi người tự tính nhé!
Vậy $maxf(x,y,z) = \left\{ \begin{array}{l}1\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n = 0 \\ \dfrac{1}{3}\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n = 1 \\\dfrac{{n^n }}{{(n + 1)^{n + 1} }}\,,\,\,\,\,n = 2,\,3,\,... \\ \end{array} \right.$.